1. 外延性の公理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/08 15:26 UTC 版)
「ツェルメロ＝フレンケル集合論」の記事における「1. 外延性の公理」の解説
詳細は「外延性の公理」を参照 同じ元を持つ場合、2つの集合は等しい（同じ集合である）。 ∀ x ∀ y [ ∀ z ( z ∈ x ⇔ z ∈ y ) ⇒ x = y ] . {\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].} この公理の逆は、等式の置換特性に由来する。等号" = {\displaystyle =} "を含まない論理体系の場合、 x = y {\displaystyle x=y} は次の式の略語として定義できる。 ∀ z [ z ∈ x ⇔ z ∈ y ] ∧ ∀ w [ x ∈ w ⇔ y ∈ w ] . {\displaystyle \forall z[z\in x\Leftrightarrow z\in y]\land \forall w[x\in w\Leftrightarrow y\in w].} この場合、外延性の公理は次のように定式化できる。 ∀ x ∀ y [ ∀ z ( z ∈ x ⇔ z ∈ y ) ⇒ ∀ w ( x ∈ w ⇔ y ∈ w ) ] , {\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow \forall w(x\in w\Leftrightarrow y\in w)],} この式は、 x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} が同じ元を持つ場合、それらは同じ集合に属することを意味する。
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