最小の非可算順序数とは? わかりやすく解説

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最小の非可算順序数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/06/13 06:01 UTC 版)

最小の非可算順序数: First uncountable ordinal)ω1の存在は、選択公理によらずに示すことができる(ハルトークス数を参照)。ω1極限順序数で、すべての可算順序数を含む非可算集合である。ときに Ω とも表記される。その濃度は最小の非可算基数1 に等しい。

位相的性質

任意の順序数は、順序位相の入った位相空間と捉えることができる。位相空間 [0,ω1) および [0,ω1] は、いくつかの興味深い性質を持っている。

  • [0,ω1) は点列コンパクトであるがコンパクトではない。任意の距離空間においてその二つは同値であるから、[0,ω1) は距離化不可能である。
  • 可算コンパクトではあるため、 [0,ω1) はコンパクトでない可算コンパクト空間の例になっている。
  • [0,ω1) は第一可算公理を満たすが可分でも第二可算的でもない。
  • ω1 は[0,ω1) の極限点であるが、 [0,ω1) 内の可算な点列で ω1 に収束するものは存在しない。なぜなら、可算集合の可算和はまた可算集合になるからである。よって [0, ω1] においてω1 は可算な基本近傍系を持てず、[0, ω1] は第一可算公理を満たさない。
  • ω1 から実数 カテゴリ



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