3. 分出公理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/08 15:26 UTC 版)
「ツェルメロ＝フレンケル集合論」の記事における「3. 分出公理」の解説
詳細は「分出公理」および「en:Axiom schema of specification」を参照 部分集合は通常、集合の内包的記法（英語版）を用いて表される。たとえば偶数は、整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } の合同式 x ≡ 0 ( mod 2 ) {\displaystyle x\equiv 0{\pmod {2}}} を満たす部分集合として表すことができる。 { x ∈ Z : x ≡ 0 ( mod 2 ) } . {\displaystyle \{x\in \mathbb {Z} :x\equiv 0{\pmod {2}}\}.} 一般に、集合 z {\displaystyle z} の部分集合で1つの自由変数 x {\displaystyle x} の式 ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} に従うものは、以下のように表現できる： { x ∈ z : ϕ ( x ) } . {\displaystyle \{x\in z:\phi (x)\}.} 分出公理は、この部分集合が常に存在することを示す（それぞれの ϕ {\displaystyle \phi } に1つずつ公理が対応するため、これは公理型である）。厳密には、ZFCの言語では、 ϕ {\displaystyle \phi } はすべての自由変数 x , z , w 1 , … , w n {\displaystyle x,z,w_{1},\ldots ,w_{n}} を含む任意の式とする（ y {\displaystyle y} は ϕ {\displaystyle \phi } の自由変数でない ）。このとき： ∀ z ∀ w 1 ∀ w 2 … ∀ w n ∃ y ∀ x [ x ∈ y ⇔ ( ( x ∈ z ) ∧ ϕ ) ] . {\displaystyle \forall z\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow ((x\in z)\land \phi )].} 分出公理は部分集合のみを構築でき、次のように一般的な集合を構築することはできないことに注意せよ： { x : ϕ ( x ) } . {\displaystyle \{x:\phi (x)\}.} この制限は、ラッセルのパラドックス（ y = { x : x ∉ x } {\displaystyle y=\{x:x\notin x\}} とすると y ∈ y ⇔ y ∉ y {\displaystyle y\in y\Leftrightarrow y\notin y} となる ）や、ラッセルのパラドックスの変種（無制限の理解（英語版）を含む素朴集合論に関連するもの）を防ぐするために必要である。 ZFの公理の中で、この公理は置換公理と空集合の公理に従うという点で冗長である。 一方、分出公理は少なくとも1つの集合が存在することを主張するため（前述）、空集合 ∅ {\displaystyle \varnothing } の存在を証明するために使用できる。証明方法の1つは、どの集合も持たない属性 ϕ {\displaystyle \phi } を使うことである。たとえば、 w {\displaystyle w} が既存の集合である場合、空集合は次のように構成できる。 ∅ = { u ∈ w ∣ ( u ∈ u ) ∧ ¬ ( u ∈ u ) } . {\displaystyle \varnothing =\{u\in w\mid (u\in u)\land \lnot (u\in u)\}.} したがって、空集合の公理は、ここで示す9つの公理によって示すことができる。外延性の公理は、空集合が一意であることを意味する（ w {\displaystyle w} によらない）。記号「 ∅ {\displaystyle \varnothing } 」はしばしばZFCの言語に追加される（英語版）。
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