得られた指数函数の性質

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得られた指数函数の性質

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/15 10:26 UTC 版)

「超現実数」の記事における「得られた指数函数の性質」の解説

この定義を用いて以下の性質が満足されることが示せる: exp は狭義単調増大な正値函数である: すなわち x < y ⇒ 0 < exp(x) < exp(y) が成り立つ。 exp は指数法則 exp(x + y) = exp(x)⋅exp(y) を満足する。 exp は全射（𝐍𝐨+ の上への写像）であり、矛盾なく定義された逆写像 log := exp–1 を持つ。 exp は実数全体の成す集合上では通常の指数函数に一致する（したがって exp(0) = 1, exp(1) = e が成り立つ）。 x が無限小のとき、形式冪級数 ∑n≥0xn⁄n! の値は矛盾なく定義され、上記の帰納的定義によるものと一致する。x がコンウェイ標準形で与えられるとき、計算結果における冪指数全体の成す集合は整列順序付けられ、係数列はどれも有限和となるから、この exp(x) の標準形（先頭係数は 1）は直截に与えられる。 同様に、x が 1 に無限に近いとき、log(x) は x − 1 に関する冪級数展開によって与えられる。 x が正の無限大ならば exp(x) は同じく無限大である。x が ωα (α > 0) の形であるとき、exp(x) は β が α の狭義単調増大函数であるもとして ωωβ の形をしている。実は、全単射 g: 𝐍𝐨+ → 𝐍𝐨; α ↦ β が帰納的に定義され、その逆函数もまた帰納的に定義できる。 x が「純無限大」("pure infinite") で標準形 x := ∑α<β rα⋅ωaα (∀aα > 0) を持つならば、 exp ⁡ ( x ) = ω ∑ α < β r α ω g ( a α ) {\textstyle \exp(x)=\omega ^{\sum _{\alpha <\beta }r_{\alpha }\omega ^{g(a_{\alpha })}}} が成り立つ。 同様に x := ω ∑ α < β r α ω b α {\textstyle x:=\omega ^{\sum _{\alpha <\beta }r_{\alpha }\omega ^{b_{\alpha }}}} に対して逆写像は log(x) = ∑α<β rα⋅ωg–1(bα) で定められる。 任意の超現実数は純無限大成分、実数成分、無限小成分の和として表されるから、指数函数は上で見た（純無限大、実数、無限小それぞれに対する）指数函数の積として与えられることがわかる。特に標準形は、無限大成分（これはひとつの ω の冪として与えられる）と実指数函数を無限小に関する冪級数として書いたものとの積に書ける。 逆に、標準形の先頭項を分割して任意の超現実数を ( ω ∑ γ < δ t γ ω b γ ) ⋅ r ( 1 + ∑ α < β s α ω a α ) {\textstyle (\omega ^{\sum _{\gamma <\delta }t_{\gamma }\omega _{b_{\gamma }}})\cdot r(1+\sum _{\alpha <\beta }s_{\alpha }\omega _{a_{\alpha }})} (aα < 0) の形に持ち込んでやれば、各因数は上で既に与えたやり方で対数が計算できる形になっているから、それら対数の和が一般の対数となる。（exp の場合と異なり）一般の log の帰納的定義は存在しないが、部分的にはそのような帰納的定義も与えられる。この方法では、（対数が指数函数の逆函数であるという事実を参照することなしに）陽に計算することができる。 指数函数は任意の有限冪函数よりもずっと大きい。任意の正の無限大 x と有限な n に対して exp(x)/xn は無限大である。 任意の整数 n と超現実数 x > n2 に対し exp(x) > xn が成り立つ。この強い制約条件は実指数体に対する Ressayre の公理の一つになっている。 exp は実指数体に対する Ressayre の公理系をすべて満足する。この指数函数を備えた超現実数の全体は、実指数体の初等拡大（英語版）になる。 順序イプシロン数 εβ に対し、εβ より小さい誕生日を持つ超現実数の全体は、指数について閉じた体を成し、同様に実指数体の初等拡大のひとつとなる。