ブール素イデアル定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/30 22:51 UTC 版)
数学において、ブール素イデアル定理（ブールそイデアルていり、Boolean prime ideal theorem）とはブール代数のイデアルは素イデアルに拡張できるという定理である。集合上のフィルターに関するこの定理の変形は、超フィルターの補題として知られている。他の定理は、適切なイデアルの概念、例えば環と（環論の）素イデアル、分配束や（順序理論での）極大イデアルなど、異なる数学的構造を考慮することで得られる。この記事では順序理論の素イデアル定理に焦点を当てる。
さまざまな素イデアル定理は単純で直感的に見えるかもしれないが、選択公理なしのツェルメロ＝フレンケル集合論（略称ZF）の公理から一般に導くことはできない。代わりに、選択公理（AC）と等価であることが判明したものもあれば、例えばブール素イデアル定理など、ACよりも厳密に弱い性質を表すものもある。ZFとZF + AC(ZFC)の中間的な地位にあるため、ブール素イデアル定理は集合論の公理としてしばしば取り上げられる。この追加的な公理を指すために、BPIや（ブール代数に対する）PITという略語が使われることがある。
各種素イデアル定理
順序イデアルとは、（空でない）上に有向な下方集合のことである。この記事内のように、考察される半順序集合 (poset) が二項上限（すなわち結び）を持つ場合、これは等価的に、二項上限に対して閉じている非空下方集合Iとして特徴づけられる。(すなわち、
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