表現定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/28 23:10 UTC 版)
単純版のストーンの表現定理は、任意のブール代数 B が付随するストーン空間 S(B) の開かつ閉部分集合全体の成す集合代数に同型であるというものである。この同型写像は B の元 b を b を含む超フィルター全体の成す集合（この集合は S(B) の位相の選び方と B がブール代数であることから、開かつ閉になる）へ写す。 定理を圏論の言葉を用いて書き直すと、ブール代数の圏とストーン空間の圏の間に双対性が存在することを意味するものになる。この双対性はブール代数とそのストーン空間の間に同型があることに加えてその同型が函手的であること、即ちブール代数 A から別のブール代数 B への各準同型に対して、S(B) から S(A) への連続函数が自然な対応を持つことを意味する。言い換えれば、それらの圏の間に圏同値を与える反変函手が存在するのである。これは圏の非自明な双対性の初期の例である。 ストーンの表現定理は、もっと一般の場合では位相空間と半順序集合との間の双対性を扱う枠組みを与える、ストーン双対性の特別の場合である。 その証明には選択公理またはその弱い形の公理を必要とする。特にこの定理は、任意のブール代数が素イデアルを持つことを述べた弱い形の選択原理であるブール素イデアル定理と同値になる。
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