C0 の双対空間に対する表現定理とは? わかりやすく解説

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C0(X) の双対空間に対する表現定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/10/21 20:03 UTC 版)

リースの表現定理」の記事における「C0(X) の双対空間対す表現定理」の解説

以下の定理リースマルコフ定理 (Riesz–Markov theorem) とも呼ばれ無限大消失する英語版) X 上の連続関数集合 C0(X) の双対空間具現化与えるものである。以下での「ボレル集合」の語も、前節同様に、「開」集合によって生成される σ-代数を表すものである。 μ を可算加法的複素数ボレル測度とするとき、μ が正則であるための必要十分条件は、非負可算加法的測度 |μ| が前節の定義における意味で正則であることである。 定理 X を局所コンパクトハウスドルフ空間とする。C0(X) 上の任意の連続線型汎函数 ψ に対し、X 上の次のような正則可算加法的複素ボレル測度 μ が唯一存在する。すなわち、C0(X) 内のすべての f について ψ ( f ) = ∫ X f ( x ) d μ ( x ) {\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x)} が成り立つ。線型汎函数としての ψ のノルムは、μ の全変動英語版)、すなわち ‖ ψ ‖ = | μ | ( X ) {\displaystyle \|\psi \|=|\mu |(X)} である。また、ψ が正(英語版)であるための必要十分条件は、測度 μ が非負であることである。 注意 有界線形汎函数対すハーン-バナッハの定理によって、Cc(X) 上のすべての有界線形汎函数C0(X) 上の有界線形汎函数へと拡張され方法はで唯一つであるうえ、 C0(X) は上限ノルムにおける Cc(X) の閉包であるため、上述した第一定理の内容第二定理意味するものと考える人がいるかもしれない。しかし、第一結果は「正の」線型汎函数対するものであり、必ずしも「有界線型汎関数対するものではない。したがって、それら2つ定理同値ではない。 実際Cc(X) 上の有界線形汎函数は、その Cc(X) 上の局所凸位相が、C0(X) のノルムである上限ノルム置き換えられ場合、必ずしも有界線型のままであるとは限らないそのような一例として、Cc(R) 上で有界であるが C0(R) 上で非有界であるような、R 上のルベーグ測度考えられる。この事実は、ルベーグ測度の全変動無限大であることからも分かる

※この「C0(X) の双対空間に対する表現定理」の解説は、「リースの表現定理」の解説の一部です。
「C0(X) の双対空間に対する表現定理」を含む「リースの表現定理」の記事については、「リースの表現定理」の概要を参照ください。

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