リースの表現定理

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リースの表現定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/31 14:02 UTC 版)

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リースの表現定理（リースのひょうげんていり、英: Riesz representation theorem）とは、数学の関数解析学の分野におけるいくつかの有名な定理に対する呼称である。リース・フリジェシュの業績に敬意を表し、そのように名付けられた。

ヒルベルト空間の表現定理

この定理は、ヒルベルト空間とその（連続的）双対空間の間に、ある重要な関係性を構築するものである。すなわち、基礎体が実数体であるなら、それら2つの空間は等長同型であり、複素数体であるなら、それらは等長反同型（英語版）である、ということについてこの定理は述べている。そのような（反）同型性は、以下で述べるように、とりわけ自然なものである。

H をヒルベルト空間とし、H から体 R あるいは C へのすべての連続線型汎関数からなる双対空間を H* と表す。x が H の元であるなら、

$${\displaystyle \varphi _{x}(y)=\left\langle y,x\right\rangle \quad \forall y\in H}$$