Cc 上の線型汎関数に対する表現定理とは? わかりやすく解説

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Cc(X) 上の線型汎関数に対する表現定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/10/21 20:03 UTC 版)

リースの表現定理」の記事における「Cc(X) 上の線型汎関数対す表現定理」の解説

ある局所コンパクトハウスドルフ空間 X 上のコンパクトな台を持つ複素数連続関数からなる空間Cc(X) と表す。ここでの定理は、Cc(X) 上の正の線型汎函数表現するのである。以下、「ボレル集合」という語は、「開」集合によって生成される σ-代数を表すために用いられる局所コンパクトハウスドルフ空間 X 上の非負可算加法的ボレル測度 μ が正則 (regular) であることは、以下と同値である: すべてのコンパクトな K に対して μ(K) < ∞ が成り立つ; すべてのボレル集合 E に対し、 μ ( E ) = inf { μ ( U ) : E ⊆ U , U  open } {\displaystyle \mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,U{\mbox{ open}}\}} が成り立つ; 関係式 μ ( E ) = sup { μ ( K ) : K ⊆ E , K  compact } {\displaystyle \mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,K{\mbox{ compact}}\}} が、E が開集合であるとき、あるいは E がボレル集合かつ μ(E) < ∞ であるとき、必ず成り立つ。 定理 X を局所コンパクトハウスドルフ空間とする。Cc(X) 上の任意の正の線型汎函数 ψ に対し、X 上の次のような正則ボレル測度 μ が唯一存在する。すなわち、Cc(X) 内のすべての f について ψ ( f ) = ∫ X f ( x ) d μ ( x ) {\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x)} が成立する測度論への1つアプローチとして、C(X) 上の正の線型汎函数として定義されるラドン測度から始め方法考えられる。これはブルバキによって採用され方法である。当然、 X は単純な集合ではなく位相空間として考えられる必要がある局所コンパクト空間対し積分論を再び構築できる歴史的な注意F. Riesz (1909) における元々の形式でのこの定理では、区間 [0,1] 内の連続関数空間 C([0, 1]) についてのすべての連続線型汎函数 A[f] が A [ f ] = ∫ 0 1 f ( x ) d α ( x ) {\displaystyle A[f]=\int _{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x)} という形で表現されるということ述べられている。ここで α(x) は区間 [0, 1] 上の有界変動関数であり、積分リーマン=スティルチェス積分である。その区間でのボレル正則測度と、有界変動関数の間には1対1の対応があるため、上述した定理リースの元々の定理の内容一般化するのである歴史的な議論については、Gray (1984) を参照)。

※この「Cc(X) 上の線型汎関数に対する表現定理」の解説は、「リースの表現定理」の解説の一部です。
「Cc(X) 上の線型汎関数に対する表現定理」を含む「リースの表現定理」の記事については、「リースの表現定理」の概要を参照ください。

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