ボレル正則測度

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ボレル正則測度

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2013/04/14 04:48 UTC 版)

数学の分野において、n-次元ユークリッド空間 Rⁿ 上の外測度 μ は、次の二つの条件が成り立つとき、ボレル正則測度（ボレルせいそくそくど、英: Borel regular measure）と呼ばれる。

• すべてのボレル集合 B ⊆ Rⁿ が、カラテオドリの条件における意味で、μ-可測：すなわち、すべての A ⊆ Rⁿ に対して

$\mu (A)=\mu (A\cap B)+\mu (A\setminus B).$

• すべての（必ずしも μ-可測ではない）集合 A ⊆ Rⁿ に対して、A ⊆ B および μ(A) = μ(B) であるようなボレル集合 B ⊆ Rⁿ が存在する。

これら二条件の内、初めの一つのみを満たすような外測度はボレル測度（Borel measure）と呼ばれる。一方、二つ目の条件のみを満たすような外測度は正則測度（regular measure）と呼ばれる。

Rⁿ 上のルベーグ外測度は、ボレル正則測度の一例である。

ボレル正則測度は、ここでは（可算劣加法的であるだけの）「外」測度として導入したが、もしボレル集合に制限されるなら完全な（可算加法的な）測度となる。

参考文献

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure theory and fine properties of functions. CRC Press. ISBN 0-8493-7157-0. 

• Taylor, Angus E. (1985). General theory of functions and integration. Dover Publications. ISBN 0-486-64988-1. 

• Fonseca, Irene; Gangbo, Wilfrid (1995). Degree theory in analysis and applications. Oxford University Press. ISBN 0-19-851196-5.