ストーン双対性

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ストーン双対性

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/16 21:17 UTC 版)

ストーンの双対性定理（ストーンのそうついせいていり）とは数学における定理で、（非常に弱いある種の制限を満たす）位相空間がある種の性質を満たす束と自然に対応づけられる事を意味し、この対応づけをストーン双対性(Stone duality)という。位相空間論は点集合論に基づいて通常定式化されるが、ストーン双対性により位相空間は束と対応づけられるので、この双対性は点集合論の代わりに束論に基いて位相空間論を定式化（ポイントレス位相空間論（pointless topology））できる事を意味する。この為本稿ではポイントレス位相空間論についても述べる。ストーンの双対性定理はストーンの表現定理の一般化でもある。

概要

位相空間X 上の開集合全体の集合をΩ(X )とすると、Ω(X )は包含関係に関して半順序集合をなす。 しかもΩ(X )は和集合と共通部分について閉じているのでΩ(X )は束であり、 さらに詳しく調べると、Ω(X )は必ず「完備ハイティング代数」という種類の束になる事が示せる。 したがってX にΩ(X )を対応させる事で位相空間に完備ハイティング代数を対応させる事ができる。

ストーン双対性は、位相空間としてある種の弱い性質（sober性）を満たすものに限定し、さらに完備ハイティング代数の方も「空間的」という性質を満たすものに限定するとこの対応関係がいわば「全単射」になるという趣旨の定理である。

ストーン双対性の厳密な定式化には圏論の言葉を用いる必要があるので、まずは圏の概念を簡単に紹介する。 圏(category)とは「対象」の集まりと「射」 の集まりの組の事で、対象 (object)とは直観的には研究対象となる集合の事を指し、射 (morphism)とは対象から対象への写像の事を指す。例えば位相空間の圏Topの対象と射はそれぞれ位相空間と連続写像であり、群の圏Grpの対象と射はそれぞれ群と群準同型写像である。

以下の章で、ストーン双対性の記述に必要な概念を順に述べていく。

sober空間

sober空間は以下のように定義される：

定義（sober空間） ― 位相空間X が既約 (irreducible) であるとは X が2つの閉な真部分集合 $\subsetneqq X$

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2016年2月）

本稿は英語版のStone dualityの項目、pointless topologyの項目、およびこれらの関連項目を参考にして執筆された。

以下は英語版に記載されていた参考文献を写したものである：

• ストーン双対性の参考文献
  • Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2. (available free online at the website mentioned)
  • P. T. Johnstone, Stone Spaces, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 3, Cambridge University Press, Cambridge, 1982. ISBN 0-521-23893-5.
  • Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001 
  • Vickers, Steven (1989). Topology via logic. Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science. 5. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-36062-5. Zbl 0668.54001 
  • Abstract Stone Duality
• ポイントレス位相空間論の参考文献
  • Johnstone, Peter T., 1983, "The point of pointless topology," Bulletin of the American Mathematical Society 8(1): 41-53.

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ストーン双対性

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/11 02:16 UTC 版)

「順序集合」の記事における「ストーン双対性」の解説

位相空間の開集合全体の集合は包含関係により順序集合と見なせる。位相空間が「sober性」という弱い性質を満たす時はこの順序構造のみで位相空間の構造が特徴づけられることが知られている（ストーンの双対性定理）。したがってsober性を満たす空間に話を限定すれば、点集合論に頼らなくても順序構造のみで位相空間論を展開できる（ポイントレス位相空間論）。