ストーン双対性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/16 21:17 UTC 版)
ストーンの双対性定理（ストーンのそうついせいていり）とは数学における定理で、（非常に弱いある種の制限を満たす）位相空間がある種の性質を満たす束と自然に対応づけられる事を意味し、この対応づけをストーン双対性(Stone duality)という。位相空間論は点集合論に基づいて通常定式化されるが、ストーン双対性により位相空間は束と対応づけられるので、この双対性は点集合論の代わりに束論に基いて位相空間論を定式化（ポイントレス位相空間論（pointless topology））できる事を意味する。この為本稿ではポイントレス位相空間論についても述べる。ストーンの双対性定理はストーンの表現定理の一般化でもある。
注釈
- ^ 圏の定義では対象と射が集合と写像である事は要求していないが、本稿で出てくる圏は後述するSLocを除いてこの性質を満たすので、以下対象と射がそれぞれ集合と写像であるかは問わない。
- ^ 「sober」は「穏健な」、「冷静な」、「しらふの」、「酒を飲んでいない」といった意味の英単語。（研究社「新英和中辞典」）
- ^ 空間的完備ハイティング代数は束であり、束は順序集合であるので「順序を保つ」という概念が意味を持つ
- ^ SFrmもSLocも対象は空間的完備ハイティング代数である。しかしSFrmとSLocが圏としては違う事を強調する為に、SFrmの対象とみなした場合には空間的完備ハイティング代数を「枠」といい、SLocの対象とみなした時には空間的完備ハイティング代数を「ロケール」という。
出典
[続きの解説]
「ストーン双対性」の続きの解説一覧
- 1 ストーン双対性とは
- 2 ストーン双対性の概要
- 3 「空間的」の定義
- 4 脚注
ストーン双対性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/11 02:16 UTC 版)
位相空間の開集合全体の集合は包含関係により順序集合と見なせる。位相空間が「sober性」という弱い性質を満たす時はこの順序構造のみで位相空間の構造が特徴づけられることが知られている（ストーンの双対性定理）。したがってsober性を満たす空間に話を限定すれば、点集合論に頼らなくても順序構造のみで位相空間論を展開できる（ポイントレス位相空間論）。
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