SobとSFrmの対応関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/10 07:19 UTC 版)
「ストーン双対性」の記事における「SobとSFrmの対応関係」の解説
次にsober空間の圏Sobと空間的完備ハイティング代数の圏SFrmとの対応関係の詳細を述べる。これらの圏の間の対応関係は、圏論でいう「関手」の概念を用いて定義される。ここでSobからSFrmへの関手(functor)とはSobの対象と射にそれぞれSFrmの対象と射を対応させる「写像」の事である。（厳密な定義は圏論の項目を参照。） SobからSFrmへの関手Ωは以下のように定義される。 定義（SobからSFrmへの関手Ω） ― SobからSFrmへの関手Ω以下のように定義される： 対象：sober空間XにX 上の開集合全体の集合（以下Ω(X )と表記）を対応させる。 射：連続写像f : X → Y にf -1 : Ω(Y ) → Ω(X ) を対応させる。（以下f -1を以下Ω(f )と表記） ここで注意すべきはf がX からY への写像であるときはΩ(f ) = f -1はΩ(Y ) からΩ(X )への写像になっており、写像の向きが逆転している事である。（すなわち圏論の言葉でいえば反変関手になっている）。後でポイントレス位相空間論を考える際には、写像の向きの反転をなくす為、若干の調整が必要となる。 次に、関手Ωのいわば「逆写像」にあたる、SFrmからSob への関手pt を導入する。ptは空間的完備ハイティング代数F に対しF の元を開集合として持つ位相空間を対応させる関手であり、したがってpt を実現するにはF から点集合(point set)を再現する必要がある。 このようなptを実現する為、いくつかの概念を定義し、ptの「逆写像」にあたる関手Ω(X )の性質を調べる。一点集合を任意に固定し、これを1と表記する。さらに1の唯一の元をe とし、1 に離散位相を入れる。すると1 上の開集合全体の集合 Ω ( 1 ) = { ∅ , 1 } {\displaystyle \Omega (\mathbf {1} )=\{\emptyset ,\mathbf {1} \}} は2元のみからなるハイティング代数になる。以下このハイティング代数Ω(1 )の事を「2」と表記する。 ∅ {\displaystyle \emptyset } はハイティング代数2の最小元なので、以下 ∅ {\displaystyle \emptyset } の事を0とも表記する。 さてX をsober空間とし、F = Ω(X )とする。X の点x ∈ X に対し、一点写像 px : 1 → X をpx(1) = x となる写像とする。するとsober空間X 上の点とe からX への写像pxは明らかに1対1で対応する。また1 からX への写像px : 1 → X には空間的完備ハイティング代数間の写像Ω(px) : F → Ω(E ) = 2 が対応する。以上の考察からX の各点に射F → 2が対応する。 しかもX の開集合O とx ∈X に対しf = Ω(px)とすると、 x ∈ O ⇔ p x ( e ) ∈ O ⇔ 1 ∈ p x − 1 ( O ) ⇔ Ω ( p x ) ( O ) = 1 ⇔ f ( O ) = 1 {\displaystyle x\in O\Leftrightarrow p_{x}(e)\in O\Leftrightarrow \mathbf {1} \in p_{x}{}^{-1}(O)\Leftrightarrow \Omega (p_{x})(O)=\mathbf {1} \Leftrightarrow f(O)=1} が成り立つ。 そこでptを以下のように定義する： 定義（SFrmからSobへの関手pt） ― SFrmからSobへの関手ptは以下のように定義される： 対象：空間的完備ハイティング代数F に対し以下のような位相空間（pt(F )と表記）を対応させる：底空間X ：F から2 への射全体の集合。 X の開集合⇔ ∃ u ∈ F {\displaystyle \exists u\in F} が存在し、 { f ∈ X ∣ f ( u ) = 1 } {\displaystyle \{f\in X\mid f(u)=\mathbf {1} \}} と表記できる集合。 射：ψ : F → G に f ∈ p t ( G ) ↦ f ∘ ψ ∈ p t ( F ) {\displaystyle f\in \mathrm {pt} (G)\mapsto f\circ \psi \in \mathrm {pt} (F)} を対応させる。
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