ベールの性質とは？わかりやすく解説

位相空間 $X$ の部分集合 $A$ が ベールの性質を持つ、またはほとんど開な集合であるとは、その集合がある開集合との差が第一類集合であること。すなわち開集合 $U\subseteq X$ で $A{\mathbin {\Delta }}U$ が第一類集合となるものがあることである（ここでの $\Delta$ は対称差を表す）^[1]。ベールの性質と言う名前はルネ＝ルイ・ベールにちなむ。

ベールの性質を満たす集合全てによる族はσ-代数をなす。すなわち、ほとんど開な集合の補集合はほとんど開であり、ほとんど開な集合の可算和や可算交叉もまたほとんど開である^[1]。

開集合はほとんど開な集合である（空集合は meager である）ため、どんなボレル集合もほとんど開である。ポーランド空間の部分集合がベールの性質を持つとき、それに対応するバナッハ・マズール・ゲームが determined である。その逆は成り立たない。しかし、与えられた adequate pointclass $\Gamma$ に属するゲームがすべて determined であるなら、 $\Gamma$ に属する集合はすべてベールの性質を持つ。

選択公理から、ベールの性質を満たさないような実数集合が存在することが導かれる。特に、ヴィタリ集合はベールの性質を満たさない^[2]。これを示すには選択公理より弱いブール素イデアル定理があれば十分で、それは自然数全体の集合の上の非単項超フィルターの存在を導き、そのようなウルトラフィルターは実数の二進小数展開によってベールの性質を満たさない実数集合になる。^[要出典]

参考文献

^ ^a ^b Oxtoby, John C. (1980), “4. The Property of Baire”, Measure and Category, Graduate Texts in Mathematics, 2 (2nd ed.), Springer-Verlag, pp. 19–21, ISBN 978-0-387-90508-2 .
^ Oxtoby (1980), p. 22.

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