関係代数_(関係モデル)とは？わかりやすく解説

関係代数（かんけいだいすう、リレーショナル代数、英: relational algebra）は、関係データベースの関係モデル（リレーショナルモデル）において、集合論と一階述語論理に基づいて、関係（リレーション、表、テーブル）として表現されたデータを扱う、コンピュータ科学における代数的な演算の体系である。

関係として表現されたデータに対して行う演算体系としては、関係論理（関係計算）とこの項目で説明する関係代数の2種類が知られている。関係代数と関係論理は、主にエドガー・F・コッドによって考案され、その後コッドを含めた関係データベース（関係モデル）の研究者たちが発展させてきた。

現在では、関係代数の演算子としては、和、差、交わり (交差) 、直積、制限 (選択) 、射影、結合、商の8種類が言及されることが多い。ただし属性名変更や拡張、要約などこの他の演算子も考案されている。

関係代数を実装したデータベース言語（問い合わせ言語）としては、SQL や Tutorial D などが挙げられる。ただし SQL については、関係代数を完全な形で実装していないとして批判する意見がある。

数学的に純粋な関係代数は、数理論理学や集合論と比較して、代数的構造をなしている。

概要

関係代数の基本的な考え方は、集合論と一階述語論理の流れをくんでいる。

関係代数の演算子は、閉包性（closure）をもつ。関係において閉包である。つまり次のことがいえる。

関係代数は、1つもしくは複数の関係を基にして演算を行う。
関係代数で演算を行って返される結果は、必ず関係である。
関係代数演算の結果として返された関係を基にして、さらに関係代数で演算することができる。入れ子になった関係代数演算を行うことができる。

現在、言及されることが多い関係代数の演算子としては、和、差、交わり (交差) 、直積、制限 (選択) 、射影、結合、商の8種類がある（この8種類の演算子については後の#基本的な演算子の節で説明する）。ただし属性名変更や拡張、要約などこの他の演算子も考案されている（後の#応用的な演算子の節で説明する）。

関係代数は、関係データベース管理システム（RDBMS、関係データベース）のデータベース言語（問い合わせ言語）の基礎となっている。

関係代数と関係論理（関係計算）は互いに等価である。関係代数で表現された式は、等価な関係論理の式で表現することができる。また関係論理で表現された式は、等価な関係代数の式で表現することができる。

関係代数を実装したデータベース言語としては、SQL や Tutorial D などが挙げられる。 SQLは、関係代数と関係論理を実装しているとされる。ただし一部の研究者などの人々（クリス・デイトやヒュー・ダーウェンなど）は、SQLに対して、関係モデルを考案したエドガー・F・コッドの関係代数を完全な形で実装していないなどとして、批判的な立場をとっている。デイトとダーウェンは完全な実装として D（Tutorial D）を考案し提唱している。

関係は何らかの述語の外延と解釈することができるので、関係代数の各々の演算子は述語計算に相当するものと解釈できる。例えば、自然結合は論理積 AND（ $\land$

関係モデルの概念

詳細は「関係モデル」を参照

関係代数は関係モデルに基づく関係データベースのデータベース言語 (問い合わせ言語) であるため、最初に関係モデルを簡単に定義する。関係モデルにおける基本的な構成要素は定義域すなわちデータ型である。組は順序づけられていない属性の集合である。属性は定義域と値のペアである。関係変数は、特定の関係型の名前つきの変数であり、順序づけられていない属性名と属性の定義域のペアの集合である。関係変数は関係の見出しを提供する。関係は見出しと組の集合から構成される。こうした関係モデルの概念は数学的に定義されるが、既存のデータベースの実装はこうした定義に厳密に準拠しているわけではない。表 (テーブル) は、関係の視覚的表現として受け容れられている。組は行の概念に似ている。

関係の型適合

集合論に基づく関係演算子（直積を除く、和、差、交わり）では、2つの型適合（type-compatibility）する関係を対象として演算を行う。この種の関係演算では、型適合しない2つ関係を対象として演算を行うことはできない。型適合は、和両立（union-compatibility）ともいう。

関係の型適合とは、言い換えれば2つの関係がうまく組み合わせることができるということである。具体的には、関係 R と関係 S について、次の条件が満たされる場合、R と S は型適合である。

R と S が同じ数の属性をもっていること。
R と S がもつ属性の名前が同じであること。
R と S がもつ同じ名前の属性の定義域が同じであること。

基本的な演算子

基本的な関係代数の演算子は大きく2つに分類することができる。集合論に基づく演算子と関係代数に特有な演算子である。まず集合論に基づく演算子（和、差、交わり (交差) 、直積）を説明し、続けて関係代数特有の演算子（制限 (選択) 、射影、結合、商）を説明する。また各演算子について、データベース言語（問い合わせ言語）SQL と Tutorial D による関係代数式の表現例を示す。