補集合の追加規則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/24 05:42 UTC 版)
次の命題は補集合に関する集合の代数学の5つの規則を示している。 命題 4: A と B が普遍集合 U の部分集合であるとき、以下が成り立つ。 ド・モルガンの規則: ( A ∪ B ) C = A C ∩ B C {\displaystyle (A\cup B)^{\mathrm {C} }=A^{\mathrm {C} }\cap B^{\mathrm {C} }} ( A ∩ B ) C = A C ∪ B C {\displaystyle (A\cap B)^{\mathrm {C} }=A^{\mathrm {C} }\cup B^{\mathrm {C} }} 二重補集合または対合法則: A C C = A {\displaystyle A^{\mathrm {CC} }=A} 普遍集合と空集合の補集合の規則: ∅ C = U {\displaystyle \varnothing ^{\mathrm {C} }=U} U C = ∅ {\displaystyle U^{\mathrm {C} }=\varnothing } 二重補集合の規則は自己双対であることに注意。 次の命題も自己双対であり、補集合の規則を満たす集合は補集合しかないことを示している。換言すれば相補性は補集合の規則で特徴付けられる。 命題 5: A と B が普遍集合 U の部分集合であるとき、以下が成り立つ。 補集合の普遍性: A ∪ B = U {\displaystyle A\cup B=U} で、かつ A ∩ B = ∅ {\displaystyle A\cap B=\varnothing } なら、 B = A C {\displaystyle B=A^{\mathrm {C} }} が成り立つ。
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