補間誤差
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/04 07:53 UTC 版)
関数 f を x0,...,xn というノードを結ぶn次多項式で補間したとき、その誤差は以下のようになる。 f ( x ) − p n ( x ) = f [ x 0 , … , x n , x ] ∏ i = 0 n ( x − x i ) {\displaystyle f(x)-p_{n}(x)=f[x_{0},\ldots ,x_{n},x]\prod _{i=0}^{n}(x-x_{i})} ここで f [ x 0 , … , x n , x ] {\displaystyle f[x_{0},\ldots ,x_{n},x]} は差分商を表す。f がノード xi と x を含む微小な区間 I において n+1 階連続微分可能ならば、I 上のある ξ {\displaystyle \xi } について誤差をラグランジュ形式で次のように書くことができる。 f ( x ) − p n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ∏ i = 0 n ( x − x i ) {\displaystyle f(x)-p_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}\prod _{i=0}^{n}(x-x_{i})} したがって、テイラーの定理のラグランジュ形式の剰余項は、全ての補間ノード xi が同一であるような特殊ケースの補間誤差である。 x i = x 0 + i h {\displaystyle x_{i}=x_{0}+ih} のように等間隔な補間ノードの場合、補間誤差は O ( h n ) {\displaystyle (h^{n})} になる。しかし、このことから n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } となったときに何が起きるかはわからない。それについては後述の「収束属性」の節で扱う。 以上から、積 | ∏ (x − xi) | を可能な限り小さくするような補間点 xi の選択がありうることがわかる。これを達成しているのがチェビシェフノード（英語版）である。
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