補題の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/25 14:38 UTC 版)
「ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理」の記事における「補題の証明」の解説
いま正の整数 n がこの列の「頂点」(peak) であるとは、「n < m ならば xn > xm となる」—すなわち、xn がその列に属する他のどの xm よりも大きい—ときに言う。まず、数列が無限個の頂点を持つと仮定して、それを番号順に n1 < n2 < ⋯ < nj < ⋯ とする。このとき、これら頂点に対応する部分列 (xnj) は単調減少である。次に、頂点が有限個しかないと仮定した場合を示そう。頂点のうち最大のものを N として、n1 := N + 1 とする。N < n1 だから n1 は頂点でなく、したがって番号 n2 を n1 < n2 かつ xn1 ≤ xn2 を満たすようにとれる。やはり n2 > N は頂点でないから、したがって番号 n3 を n2 < n3 かつ xn2 ≤ xn3 を満たすようにとれる。以下同様に繰り返せば、非減少無限列 xn1 ≤ xn2 ≤ xn3 ≤ ⋯ が作れる。
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