他の位相的構造との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/14 14:19 UTC 版)
近接空間が与えられると、そこから A ↦ { x ∣ { x } δ A } {\displaystyle A\mapsto \{x\mid \{x\}{\boldsymbol {\delta }}A\}} をクラトフスキーの閉包作用素（英語版）とすることで位相を定義できる。もし近接空間が分離的なら、こうして得られた位相はハウスドルフである。近接写像は誘導位相の間の連続写像となる。 このようにして得られた位相は常に完全正則である。ウリゾーンの補題の通常の証明を模倣することによって証明される。補題の証明に用いる（集合の）無限増加列を構成する際、近接近傍の最後の性質が用いられる。 コンパクトハウスドルフ空間が与えられると、対応する位相がちょうど所与の位相と一致するような近接性が一意的に存在する： A {\displaystyle A} が B {\displaystyle B} に近いのは、それらの閉包が一致するとき、かつそのときに限られる。より一般には、近接性は完全正則ハウスドルフ空間のコンパクト化を分類する。 一様空間 X {\displaystyle X} は次のようにして近接関係を誘導する： A {\displaystyle A} が B {\displaystyle B} に近いのは、 A × B {\displaystyle A\times B} がどの近縁とも空でない交わりを持つとき、かつそのときに限る。一様連続写像はこのとき近接写像となる。
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