他の位相的概念との整合性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/03 13:51 UTC 版)
「商位相空間」の記事における「他の位相的概念との整合性」の解説
分離性一般に、商空間構成は分離公理とは相性が悪く、ある空間 X の持つ分離性は商空間 X/~ に必ずしも遺伝しないし、X と同様の分離性を X/~ が持つとも限らない。 X/~ が T1-空間となる必要十分条件は、同値関係 ~ の任意の同値類が X の閉集合であることである。 商写像が開であるときには、X/~ がハウスドルフ空間となることと、関係 ~ が直積位相空間 X × X の閉集合となることとが同値である。 連結性位相空間が連結または弧状連結ならば、その任意の商空間もおなじ性質を持つ。 単連結または可縮な空間の商空間は、必ずしもおなじ性質を持つわけはない。 コンパクト性位相空間がコンパクトならば任意の商空間もそうである。 局所コンパクト空間の商空間は必ずしもそうではない。 次元商空間の位相次元はもとの空間のそれよりも増加しうる（もちろん減少することもある）。このような例は空間充填曲線から得られる。
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