誘導位相とは? わかりやすく解説

相対位相

(誘導位相 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/05/05 05:35 UTC 版)

部分位相空間(ぶぶんいそうくうかん、: [topological] subspace)とは、数学位相空間論周辺分野における概念の1つで、位相空間部分集合でもとの空間から由来する自然な位相を備えたものをいう。そのような位相は、部分空間位相 (subspace topology), 相対位相 (relative topology) あるいはトレース位相 (trace topology) などと呼ばれる。

定義

与えられた位相空間 (X, τ) と X の部分集合 S に対し、S 上の相対位相

この性質は、Y 上の部分位相の定義として用いることができるという意味で、相対位相を特徴付ける性質である。

以下、相対位相に関する性質を挙げる。以下では S は位相空間 X の部分空間とする。

  • f: XY が連続ならば、その S への制限もやはり連続である。
  • f: XY が連続ならば、f: Xf(X) もやはり連続である。
  • S の閉集合はちょうど X の閉集合と S との交わりとして得られる。
  • AS の部分空間ならば A は同じ位相で X の部分空間にもなる。すなわち、S から誘導される A の位相は X から誘導される A の位相と一致する。
  • SX の開部分空間ならば、S の部分空間が S において開となることと、それが X において開となることとは同値である。
  • SX の閉部分空間ならば、S の部分空間が S において閉となることと、それが X において閉となることとは同値である。
  • BX開基とすると、BS = {US : UB} は S の開基である。
  • 距離空間の部分集合上に距離函数を制限することによって誘導される位相は、その部分集合における部分位相空間としての位相に一致する。

部分空間へ遺伝する位相的性質

位相空間がある位相的性質を持つとき、その任意の部分空間がやはり同じ性質を持つならば、その位相的性質は遺伝的 (hereditary) であるという。それより弱く、その任意の閉部分空間だけがその性質を保つならば、そのような性質を弱遺伝的 (weakly hereditary) という。

参考文献

関連項目


誘導位相

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/08/29 16:10 UTC 版)

有界型空間」の記事における「誘導位相」の解説

ベクトル空間 X と線型界相 B がはじめに与えられているとき、X の凸、均衡かつ界呑な部分集合全体の成す集合族を T とすると、T は X 上の局所凸位相対する 0 の近傍基を成す。即ち T は X の線型空間構造両立する

※この「誘導位相」の解説は、「有界型空間」の解説の一部です。
「誘導位相」を含む「有界型空間」の記事については、「有界型空間」の概要を参照ください。

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