距離等化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/11 14:05 UTC 版)
擬距離の解消は、距離等化（metric identification）と呼ばれ、擬距離空間を一廉の距離空間に変える同値関係を導く。これは、 x ∼ y {\displaystyle x\sim y} を d ( x , y ) = 0 {\displaystyle d(x,y)=0} で定義することによって得られる。 X ∗ = X / ∼ {\displaystyle X^{*}=X/{\sim }} とし、 d ∗ ( [ x ] , [ y ] ) = d ( x , y ) {\displaystyle d^{*}([x],[y])=d(x,y)} とする。このとき、 d ∗ {\displaystyle d^{*}} は X ∗ {\displaystyle X^{*}} 上の距離であり、 ( X ∗ , d ∗ ) {\displaystyle (X^{*},d^{*})} は well-defined な距離空間である。 距離等化は、誘導位相を保つ。すなわち、 A ⊂ X {\displaystyle A\subset X} が飽和、つまり π − 1 ( π ( A ) ) = A {\displaystyle \pi ^{-1}(\pi (A))=A} を満たすとき、 A {\displaystyle A} が ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} の開集合（あるいは閉集合）であることと、 π ( A ) = [ A ] {\displaystyle \pi (A)=[A]} が ( X ∗ , d ∗ ) {\displaystyle (X^{*},d^{*})} の開集合（あるいは閉集合）であることは、同値である。ここで， π : X → X ∗ {\displaystyle \pi :X\to X^{*}} は自然な射影である。
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