距離空間における稠密性とは? わかりやすく解説

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距離空間における稠密性

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/28 14:07 UTC 版)

稠密集合」の記事における「距離空間における稠密性」の解説

距離空間稠密集合には、別な定義仕方もある。X の位相が距離によって誘導されるのであるとき、X の部分集合 A の閉包 A は A および A 内の極限点全体の成す集合との和 A ¯ = A ∪ {   lim n a n ;   a n ∈ A     ∀   n ≥ 0   } {\displaystyle {\overline {A}}=A\cup \{\ \lim _{n}a_{n};\ a_{n}\in A\ \ \forall \ n\geq 0\ \}} で与えられる。このとき、A が X において稠密であるとは A = X満たすことをいう。ここで、 A ⊂ {   lim n a n ;   a n ∈ A     ∀   n ≥ 0   } {\displaystyle A\subset \{\ \lim _{n}a_{n};\ a_{n}\in A\ \ \forall \ n\geq 0\ \}} であることに注意。 {Un} を完備距離空間 X の稠密開集合列とすると、 ⋂ n = 1U n {\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}} もまた X において稠密である。この事実は、ベールの範疇定理同値な表現一つである。

※この「距離空間における稠密性」の解説は、「稠密集合」の解説の一部です。
「距離空間における稠密性」を含む「稠密集合」の記事については、「稠密集合」の概要を参照ください。

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