距離空間と一様空間とは? わかりやすく解説

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距離空間と一様空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/04/12 03:22 UTC 版)

空間 (数学)」の記事における「距離空間と一様空間」の解説

二点間の距離は距離空間において定義される任意の距離空間位相空間でもある。有界集合コーシー列は(単に位相空間であるというだけではダメで)距離空間において定義される概念である。距離空間の間の同型写像等長写像呼ばれる距離空間完備であるとは、任意のコーシー列収斂するときにいう。完備でない距離空間は、必ずその完備化呼ばれる完備距離空間等長埋め込める。コンパクト距離空間は常に完備であり、コンパクトでない完備距離空間の例として実数直線挙げられる一方単位開区間 (0, 1) は完備でない。 位相空間距離化可能(あるいは距離付け可能)であるとは、それが距離空間の台にできることをいう。任意の多様体距離化可能である。 任意のユークリッド空間完備距離空間である。さらにユークリッド空間内在する幾何学的概念全て距離空間言葉特徴付けられる例えば、与えられた二点 A, C を結ぶ線分は、A と B との間の距離と B と C の間の距離との和が、A と C の間の距離に等しくなるような点 B の全体として得られる一様空間に距離を入れることはできないが、それでも一様連続性コーシー列完備性完備化といった概念定義することができる。任意の一様空間位相空間にもなる。任意の位相線型空間は(距離化可能か否か決まらないが)必ず一様空間になる。もっと一般に任意の位相アーベル群一様空間になるが、他方非可換位相群は左不変と右不変の二種類一様構造持ちうる。有限次元位相線型空間は必ず完備になるが、無限次元の場合は必ずしも完備とは限らない

※この「距離空間と一様空間」の解説は、「空間 (数学)」の解説の一部です。
「距離空間と一様空間」を含む「空間 (数学)」の記事については、「空間 (数学)」の概要を参照ください。

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