完備性
完備性
完備性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/10/22 08:33 UTC 版)
ケーテの減少定理により、[訳語疑問点]任意の LF-空間は完備である。
※この「完備性」の解説は、「LF空間」の解説の一部です。
「完備性」を含む「LF空間」の記事については、「LF空間」の概要を参照ください。
完備性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/17 09:58 UTC 版)
詳細は「完備束」を参照 半順序集合が完備束 (complete lattice) であるとは、その任意の部分集合が交わりと結びを持つときに言う。特に任意の完備束は有界束である。有限束の準同型は有限な交わりおよび結びしか保存しないが、完備束の準同型では任意濃度の交わりと結びを保つことを要請する。 任意の半順序集合はそれが完備半束であるならば完備束となる。この事実に関する面白い現象として、このクラスの半順序集合に対しては、いくつもの準同型を同時並行的に考えることができるということが挙げられる（つまり、それを完備束とみるか、完備結び半束とみるか、完備交わり半束とみるか、結び完備束とみるか交わり完備束とみるか、それぞれの意味での準同型を考えうる）。
※この「完備性」の解説は、「束 (束論)」の解説の一部です。
「完備性」を含む「束 (束論)」の記事については、「束 (束論)」の概要を参照ください。
完備性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/22 02:34 UTC 版)
定理・定義 (一様空間の完備性) ― 一様空間 ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} に対し以下の２条件は同値である。 ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} が以下の条件の少なくとも一方（したがって両方）を満たすとき、 ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} は完備であるという。 X上の任意のコーシーネットは少なくとも１つ極限を持つ X上の任意のコーシーフィルターは少なくとも１つ極限を持つ ここで収束は U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が定める位相における収束である。 上で「少なくとも１つ極限を持つ」という言い方をしているのは、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が定める位相構造がハウスドルフでない限り、ネットやフィルターの収束の一意性は保証されないからである。なお擬距離空間においては完備性は「コーシー列（＝点列でコーシーなもの）は少なくとも１つ極限を持つ」という事と同値であるが、一般の一様空間の場合は必ずしも同値ではない。 定理・定義 (一様空間の完備化) ― ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} を一様空間とする。このとき完備な一様空間 ( X ¯ , U ¯ ) {\displaystyle ({\bar {X}},{\bar {\mathcal {U}}})} と単射 ι : X → X ¯ {\displaystyle \iota ~:~X\to {\bar {X}}} が存在し、単射 ι {\displaystyle \iota } によりXを X ¯ {\displaystyle {\bar {X}}} の部分集合とみなすと、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が U ¯ {\displaystyle {\bar {\mathcal {U}}}} の部分一様構造になっているものが存在する。この X ¯ {\displaystyle {\bar {X}}} （と ι {\displaystyle \iota } の組）をXの完備化（英: completion）という。 さらに D ¯ {\displaystyle {\bar {D}}} を X ¯ {\displaystyle {\bar {X}}} 上の擬距離の集合で D ¯ {\displaystyle {\bar {D}}} が定める一様構造が U ¯ {\displaystyle {\bar {\mathcal {U}}}} と一致するものとするとし、Dを D ¯ {\displaystyle {\bar {D}}} に属する擬距離をXに制限したものの集合とするとき、Dの定める一様構造は U {\displaystyle {\mathcal {U}}} に一致する。 上記の定理の条件を満たす X ¯ {\displaystyle {\bar {X}}} は必ずしも一意ではない。しかしXが定める位相がハウスドルフであれば一意である事が保証される。
※この「完備性」の解説は、「一様空間」の解説の一部です。
「完備性」を含む「一様空間」の記事については、「一様空間」の概要を参照ください。
完備性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/23 09:23 UTC 版)
全順序集合が完備 (complete) であるとは、空でなく上界を持つ任意の部分集合が上限を持つことをいう。例えば実数全体の成す集合 R は完備だが、有理数全体の成す集合 Q はそうでない。 集合 X が完備となるような順序位相の性質についての結果はいくつもある。 X 上の順序位相が連結ならば X は完備である。 X が順序位相に関して連結となる必要十分条件は、それが完備かつ X に「ギャップ」がないことである（ここで「ギャップ」は X の適当な二点 a, b (a < b) に対して a < c < b を満たす点 c が存在しないことをいう）。 X が完備となる必要十分条件は、その順序位相に関する任意の閉有界集合がコンパクトとなることである。 完備束を成す全順序集合はその順序位相に関してコンパクトである。実数からなる閉区間（例えば単位閉区間 [0,1] ）や、拡大実数直線はそういった例である。この二つの例の間には順序を保つ同相がある。
※この「完備性」の解説は、「全順序」の解説の一部です。
「完備性」を含む「全順序」の記事については、「全順序」の概要を参照ください。
完備性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/13 08:36 UTC 版)
定義 ― 距離空間 X が完備であるとは X 上のコーシー列は必ず収束する事を指す。 詳細は完備距離空間の項目を参照されたい。
※この「完備性」の解説は、「コンパクト空間」の解説の一部です。
「完備性」を含む「コンパクト空間」の記事については、「コンパクト空間」の概要を参照ください。
完備性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/05 13:59 UTC 版)
可測集合 S が μ(S) = 0 であるとき零集合 (null set) という。測度 μ が完備 (complete) であるとは、零集合の全ての部分集合が可測であることである。もちろん自動的に零集合自身が可測となる。 測度を完備測度に拡張することは簡単である。単純に、可測集合 S と零集合の分だけ異なる集合 S' たち（すなわち、そのような S と S' の対称差は零集合である）をすべて合わせたものの成す完全加法族を考えればよい。
※この「完備性」の解説は、「測度論」の解説の一部です。
「完備性」を含む「測度論」の記事については、「測度論」の概要を参照ください。
- 完備性のページへのリンク
