完備化への持ち上げ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/10 16:16 UTC 版)
「ヘンゼルの補題」の記事における「完備化への持ち上げ」の解説
全ての正の整数 n に対して R / m n {\displaystyle R/{\mathfrak {m}}^{n}} に持ち上げることができるので、nを限りなく大きくしていったときの"極限"を考えたくなる。これが p 進整数が考案された主な理由の1つである。 R を可換環、 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} を極大イデアルとすると、 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} のベキたちはR の m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 進位相と呼ばれる位相についての基本近傍系になる。この位相による完備化は局所環 R m {\displaystyle R_{\mathfrak {m}}} の完備化と同一視でき、また射影極限 lim ← R / m n {\displaystyle \lim _{\leftarrow }R/{\mathfrak {m}}^{n}} とも同一視できる。この完備局所環は R ^ m {\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}} と一般的に書き表される。R が整数環で m = p Z {\displaystyle {\mathfrak {m}}=p\mathbb {Z} } （p は素数）であるときには、この完備局所環は p 進整数環 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} である。 完備化の射影極限を使った定義と上述のヘンゼルの補題の主張から、多項式 h ∈ R [ X ] {\displaystyle h\in R[X]} の法 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} での因数分解がどの2つの因子を取っても互いに素であるなら、それはhの R ^ m [ X ] {\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}[X]} における像の因数分解に一意的に持ち上げられることが導かれる。同様に、h の法 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} での任意の単根はh の R ^ m [ X ] {\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}[X]} における像の単根に持ち上げられる。
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