完備体の拡大
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 09:25 UTC 版)
付値体 ( K , | ⋅ | K ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |_{K})} は、 | ⋅ | K {\displaystyle |\cdot |_{K}} によって完備であり、L を K の代数拡大体とすると、 | ⋅ | K {\displaystyle |\cdot |_{K}} は、L に一意的に延長が可能である。もし、L が K の有限次拡大であるならば、L の乗法付値を | ⋅ | L {\displaystyle |\cdot |_{L}} とおくと、L は | ⋅ | L {\displaystyle |\cdot |_{L}} で完備となり、 | α | L = | N L / K ( α ) | K n {\displaystyle |\alpha |_{L}={\sqrt[{n}]{|N_{L/K}(\alpha )|_{K}}}} が成立する。但し、n は L の K に対する拡大次数である。 注意として、L が K の無限次代数拡大体であるとき、L が完備になるとは限らない。例えば、p進体の代数閉包は完備ではない。
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