ヘンゼルの補題の主張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/10 16:16 UTC 版)
「ヘンゼルの補題」の記事における「ヘンゼルの補題の主張」の解説
元々のヘンゼルの補題は、整数を係数とする多項式の素数 p を法とする因数分解をp の冪乗を法とする因数分解、もしくはp 進整数環上の因数分解に持ち上げることを主張（そして証明）するものであった。この補題は、整数を任意の可換環、素数を極大イデアル、そしてp 進整数環をその極大イデアルについての完備化に置き換えることで簡単に一般化できる。証明の仕方も同じである。この一般化された補題も広く用いられる。本記事で述べるのもこれである。 R を可換環、 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} をその極大イデアルの1つ、そして h = α 0 X n + ⋯ + α n − 1 X + α n {\displaystyle h=\alpha _{0}X^{n}+\cdots +\alpha _{n-1}X+\alpha _{n}} を R [ X ] {\displaystyle R[X]} の多項式で最高次の係数 α 0 {\displaystyle \alpha _{0}} が m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} に含まれないものとする。 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} を極大イデアルとしているので、その剰余環 R / m {\displaystyle R/{\mathfrak {m}}} は体である。したがって ( R / m ) [ X ] {\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})[X]} は単項イデアル整域なので、特に一意分解環である。これは、任意のゼロではない ( R / m ) [ X ] {\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})[X]} の多項式は ( R / m ) {\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})} のゼロでない元とモニック（最高次の係数が1という意味）な既約多項式の積として一意的にかけることを意味する。 ヘンゼルの補題は、h の法 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} での互いに素な多項式への因数分解は、任意のkに対して m k {\displaystyle {\mathfrak {m}}^{k}} を法とする因数分解に一意的に持ち上げられることを主張する。 もう少し詳しく書くと、上述の仮定のもとで、法 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} でモニックかつ互いに素（英語版）な多項式f と gを使って h ≡ α 0 f g ( mod m ) {\textstyle h\equiv \alpha _{0}fg{\pmod {\mathfrak {m}}}} と分解できたとすると、全ての正の整数 k に対してモニック多項式 f k {\displaystyle f_{k}} と g k {\displaystyle g_{k}} が存在して次の式 h ≡ α 0 f k g k ( mod m k ) f k ≡ f ( mod m ) g k ≡ g ( mod m ) {\displaystyle {\begin{aligned}h&\equiv \alpha _{0}f_{k}g_{k}{\pmod {{\mathfrak {m}}^{k}}}\\f_{k}&\equiv f{\pmod {\mathfrak {m}}}\\g_{k}&\equiv g{\pmod {\mathfrak {m}}}\end{aligned}}} が成り立ち、しかもこのような性質を持つ f k {\displaystyle f_{k}} と g k {\displaystyle g_{k}} は法 m k {\displaystyle {\mathfrak {m}}^{k}} で一意ということを主張する。
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