ヘンゼル化の構成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 09:25 UTC 版)
非アルキメデス付値体 ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} に対する完備化を ( K ~ , | ⋅ | K ~ ) {\displaystyle \scriptstyle ({\tilde {K}},\ |\cdot |_{\tilde {K}})} とする。 K ~ {\displaystyle {\tilde {K}}} の K における分離閉包を K ′ {\displaystyle K'} とおき、 | ⋅ | K ~ {\displaystyle |\cdot |_{\tilde {K}}} の K ′ {\displaystyle K'} への制限を | ⋅ | ′ {\displaystyle |\cdot |'} とおくと、付値体 ( K ′ , | ⋅ | ′ ) {\displaystyle \scriptstyle (K',\ |\cdot |')} では、ヘンゼルの補題が成立する。よって、 ( K ′ , | ⋅ | ′ ) {\displaystyle \scriptstyle (K',\ |\cdot |')} は | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} に関する体 K のヘンゼル化となる。 完備化という手法をとらずに純粋に代数的な手法でヘンゼル化を得ることができる。 非アルキメデス付値体 ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} の分離閉包を K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} とし、 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} の K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} への延長を | ⋅ | ′ {\displaystyle |\cdot |'} とする。 K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} の | ⋅ | ′ {\displaystyle |\cdot |'} に対する分解群を G | ⋅ | ′ = { σ ∈ Gal ( K ¯ / K ) | | σ ( α ) | ′ = | α | ′ ( for any α ∈ K ¯ × ) } {\displaystyle G_{|\cdot |'}=\{\sigma \in {\mbox{Gal}}({\bar {K}}/K)||\sigma (\alpha )|'=|\alpha |'\ \ ({\mbox{for any}}\ \alpha \in {\bar {K}}^{\times })\}} とし、この分解群に対する K ¯ / K {\displaystyle {\bar {K}}/K} の分解体を K | ⋅ | ′ = { α ∈ K ¯ | σ ( α ) = α ( for any σ ∈ G | ⋅ | ′ ) } {\displaystyle K_{|\cdot |'}=\{\alpha \in {\bar {K}}|\sigma (\alpha )=\alpha \ \ ({\mbox{for any}}\ \sigma \in G_{|\cdot |'})\}} とおけば、 K | ⋅ | ′ {\displaystyle K_{|\cdot |'}} は、 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} に関する体 K のヘンゼル化となる。
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