資産価格付けの第2基本定理

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資産価格付けの第2基本定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/01/27 16:23 UTC 版)

「資産価格付けの基本定理」の記事における「資産価格付けの第2基本定理」の解説

金融市場に裁定取引が存在しないと仮定する。この時、金融市場が完備である必要十分条件はリスク中立確率が一意に定まることである。

資産価格付けの第2基本定理

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「資産価格付けの基本定理」の記事における「資産価格付けの第2基本定理」の解説

第2基本定理は市場の完備性とリスク中立確率の一意性が同値であることを述べている。つまり、市場が完備ならば、リスク中立価格付けによる価格は一意に定まることを意味している。市場が完備であるということは、モデル内で想定されるあらゆる不確実性を金融資産のポートフォリオでヘッジ出来る（複製ポートフォリオを組むことが出来る）ということである。完備市場モデルにはブラック＝ショールズモデルなどの基本的なモデルが多く含まれている。以下で簡単な証明を示す。 市場の完備性からリスク中立確率の一意性 ここで二つのリスク中立測度 と が存在したとする。ここで将来時点 で起こったかどうかが分かるような任意の事象 を考え、事象 が起こった時に1円と時点 までの利子を支払い、起こらなかった時には何も支払わないようなオプションを考える。このオプションの割引ペイオフを とする。すると、 は事象 が起これば1円、起こらなければ0円となる。また、市場の完備性からこのオプションには複製ポートフォリオが存在する。この複製ポートフォリオの時点 での割引価値を とする。すると、リスク中立確率の定義から が成り立つ。ただし、 はそれぞれリスク中立測度 の下での期待値である。よって、 が成り立つ。ここで は任意に選んだので、結局リスク中立測度 は同じものである。よって完備市場の下ではリスク中立測度は一意に定まる。 リスク中立測度の一意性から市場の完備性 逆を示すにはマルチンゲール表現定理（英語版）を用いる。市場が完備であるという事は任意の条件付き請求権（英: contingent claim）に複製ポートフォリオが存在するという事である。任意の条件付き請求権の条件付き期待値はマルチンゲールとなるので、マルチンゲール表現定理により金融資産の価格過程に対する確率積分として表示することが可能である、つまり複製ポートフォリオとして表現できる。ゆえに市場は完備である。ここでリスク中立測度が一意に定まらないとマルチンゲール表現定理を用いる事が出来ないので、その点でリスク中立測度の一意性が必要になる。 市場の完備性の必要十分条件は、例えば有限状態の場合はペイオフ行列の階数が状態数と一致することであり、ブラック＝ショールズモデルの場合はボラティリティ行列の階数がブラウン運動の数と常に一致することである。