距離空間の位相構造
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/05 20:21 UTC 版)
すでに述べたように位相空間の概念を定義する主な動機の一つは、距離空間上で定義される諸概念をより一般の空間でも定義する事である。この意味において距離空間は最も基本的な位相空間の例であるので、本節では距離構造が位相構造を定める事を見る： 定理・定義 (距離から定まる位相) ― (X ,d )を距離空間とし、実数 ε > 0 と x ∈ X に対し、xのε-近傍（ε-neighborhood） B ε ( x ) {\displaystyle B_{\varepsilon }(x)} を B ε ( x ) := { y ∈ X ∣ d ( x , y ) < ε } {\displaystyle B_{\varepsilon }(x):=\{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon \}} と定義するとき、 O d = { O ⊂ X ∣ ∀ x ∈ O ∃ ε > 0 : B ε ( x ) ⊂ O } {\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}=\{O\subset X\mid \forall x\in O\exists \varepsilon >0~~:~~B_{\varepsilon }(x)\subset O\}} は開集合系の公理を満たす。 O d {\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}} を距離 d により定まる X の開集合系、もしくはd により定まる X の位相構造といい、 ( X , O d ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{d})} を(X ,d )により定まる位相空間という。 xのε-近傍の事を、ε-球（ε-ball）、ε-開球（ε-open ball）、あるいは単に開球（open ball）ともいう。 上記のように定義した O d {\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}} が位相の定義を満たす事を示すために、まず開集合を別の形で書き換える： 命題 (距離から定まる開集合の特徴づけ) ― 距離空間(X ,d )が定める位相を O d {\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}} とし、OをXの部分集合とする。このとき、以下の３条件は同値である： Oは O d {\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}} の開集合である 任意のx ∈ Oに対し、ある ε x > 0 {\displaystyle \varepsilon _{x}>0} が存在し、 O = ⋃ x ∈ O B ε x ( x ) {\displaystyle O=\bigcup _{x\in O}B_{\varepsilon _{x}}(x)} が成立する。 Oは（有限または無限個の）開球の和集合として書ける。すなわち族 { B ε λ ( x λ ) } λ ∈ Λ ⊂ X {\displaystyle \{B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }\subset X} が存在し、 O = ⋃ x λ ∈ Λ B ε λ ( x λ ) {\displaystyle O=\bigcup _{x_{\lambda }\in \Lambda }B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })} が成立する。 証明（距離から定まる開集合の特徴づけ） (1⇒2)：任意の開集合Oに対し、開集合の定義より開集合Oの各点xに対し、 B ε x ( x ) ⊂ O {\displaystyle B_{\varepsilon _{x}}(x)\subset O} を満たす ε x > 0 {\displaystyle \varepsilon _{x}>0} が存在するので、 O = ⋃ x ∈ O B ε x ( x ) {\displaystyle O=\bigcup _{x\in O}B_{\varepsilon _{x}}(x)} と書ける。 （2⇒3）：自明 （3⇒2）： O = ⋃ x λ ∈ Λ B ε λ ( x λ ) {\displaystyle O=\bigcup _{x_{\lambda }\in \Lambda }B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })} と書ければ、任意のx ∈ Oに対し、 x ∈ O ⟺ ∃ x λ ∈ Λ : x ∈ B ε λ ( x λ ) {\displaystyle x\in O\iff \exists x_{\lambda }\in \Lambda ~:~x\in B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })} なので、 δ x := ε λ − d ( x , x λ ) {\displaystyle \delta _{x}:=\varepsilon _{\lambda }-d(x,x_{\lambda })} とすれば、 δ x > 0 {\displaystyle \delta _{x}>0} であり、 B δ x ( x ) ⊂ B ε λ ( x λ ) ⊂ ⋃ x λ ∈ Λ B ε λ ( x λ ) = O {\displaystyle B_{\delta _{x}}(x)\subset B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })\subset \bigcup _{x_{\lambda }\in \Lambda }B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })=O} である。x ∈ OIの任意性から、Oは O d {\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}} の開集合である。 上述の命題の条件3から特に次の系が従う： 系 ― 開球は O d {\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}} の開集合である。 上述の命題より、 O d {\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}} が位相の定義を満たす事が従う： 証明（ O d {\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}} が位相の定義を満たす事） ∅ , X ∈ O d {\displaystyle \emptyset ,X\in {\mathcal {O}}_{d}} は自明に従う。 上述の命題より開集合である必要十分条件は（有限または無限個の）ε-球の和集合として書けることだったので、開集合の（有限または無限個の）和集合も当然（有限または無限個の）ε-球の和集合でかけるため、開集合である。 O 1 = ⋃ x ∈ O 1 B ε x ( x ) {\displaystyle O_{1}=\bigcup _{x\in O_{1}}B_{\varepsilon _{x}}(x)} 、 O 2 = ⋃ x ∈ O 2 B δ x ( x ) {\displaystyle O_{2}=\bigcup _{x\in O_{2}}B_{\delta _{x}}(x)} を開集合とするとき、 O 1 ∩ O 2 = ⋃ x ∈ O 1 ∩ O 2 B min { ε x , δ x } ( x ) {\displaystyle O_{1}\cap O_{2}=\bigcup _{x\in O_{1}\cap O_{2}}B_{\min\{\varepsilon _{x},\delta _{x}\}}(x)} も開球の和集合でかけるので開集合である。 なお、位相空間の定義より開集合の（有限または無限個の）和集合は開集合でり、開集合の有限個の共通部分も開集合であるが、開集合の無限個の共通部分は開集合になるとは限らない。実際、任意の自然数n > 0に対し、1/n-球 B 1 / n ( x ) {\displaystyle B_{1/n}(x)} は定義より開集合であるが、 ⋂ n ∈ N B 1 / n ( x ) = { x } {\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }B_{1/n}(x)=\{x\}} は開集合ではない。 上述のように集合X 上の距離構造に１つの位相構造が対応するが、この対応関係は一般には「単射」ではなく、異なる距離構造が同一の位相構造を定める事も多い。実際、次の命題が成立する： 命題 ― (X ,d )を距離空間とし、f : X → Xを連続な全単射で逆写像も連続なものとする。このとき、 d ′ ( x , y ) = d ( f ( x ) , f ( y ) ) {\displaystyle d'(x,y)=d(f(x),f(y))} と定義すると、dとd'はX上に同一の位相構造を定める。 なお、上記の命題における「連続」の概念は距離空間における連続の事であるが、本稿では後で位相空間上の連続性を定義し、位相空間としての連続性の概念と距離空間としての連続性の概念が一致する事を見る。 上述の命題は、距離空間を連続変形しても位相構造が変わらない事を意味する。したがって連続変形に対して不変な性質を研究する位相幾何学にとって基礎的である。
※この「距離空間の位相構造」の解説は、「位相空間」の解説の一部です。
「距離空間の位相構造」を含む「位相空間」の記事については、「位相空間」の概要を参照ください。
- 距離空間の位相構造のページへのリンク
