距離の誘導する位相とは? わかりやすく解説

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距離の誘導する位相

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/05 19:05 UTC 版)

距離空間」の記事における「距離の誘導する位相」の解説

X を距離空間、Aをその部分集合とする。A の点 x について、ある正の数 ε が存在して x を中心とする半径 ε の開球(ε-近傍 , ε-開球)B(x; ε) := {y ∈ X | d(x, y) < ε} (これをU(x; ε)とか N(x; ε)などと書くこともある) が A に含まれる時、x を A の内点 といい、 A を点 x の近傍という。 X における x の近傍全体 V(x)近傍は X の部分集合なので V(x)集合族になる)を x の近傍系という。 このようにして X の各点 x に対しX の部分集合の族 V(x)対応させる対応は位相空間論における近傍系公理満たしており、X を位相空間見なすことができる。 距離空間に対しては、位相空間論の各概念点列収束もちいて次のように特徴づけられることが知られている。Y を X の部分集合とする。 点 y が Y の内部にある ⇔ 補集合 Yc含まれる点列で、y に収束するものは存在しない。 点 y が Y の外部にある ⇔ Y に含まれる点列で、y に収束するものは存在しない。 点 y が Y の縁にある ⇔ Y に含まれる点列で y に収束するものが存在しYc含まれる点列で y に収束するものも存在する。 y ∈ X が Y の内部にあれば、補集合 Yc から y に近づく収束する)事はできないのだから、y は Y の縁ではない中身部分にあるとみなせる。同様に y ∈ X が Y の外部にあれば、Y から y に近づく事はできないのだから、y は Y の縁ではない外側部分にあるとみなせる。また y ∈ X が Y の境界にあれば、Y の中からも外からも y に近づけるのだから、y はY の縁にある。 距離空間位相空間として第一可算性任意の点が可算近傍生成基を持つ)、パラコンパクト性、完全正規性やハウスドルフ性など、いくつかの扱いやすいと見なされる性質持っているまた、距離空間可算コンパクト性点列コンパクト性を持つならばその空間位相空間としてコンパクトであることが導かれる。この距離空間コンパクト性距離空間全有界かつ完備であることと同値になる。さらに距離空間可分である(稠密な可算部分集合を持つ)ことと第二可算公理満たす可算個の開集合によってその位相生成される)ことは同値になる。

※この「距離の誘導する位相」の解説は、「距離空間」の解説の一部です。
「距離の誘導する位相」を含む「距離空間」の記事については、「距離空間」の概要を参照ください。

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