一般の距離空間における球体

ウィキペディア小見出し辞書

一般の距離空間における球体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/05/19 14:00 UTC 版)

「球体」の記事における「一般の距離空間における球体」の解説

距離空間 (M,d)、即ち集合 M に距離函数 d を併せて考えたものにおいて、M の点 p を中心とする半径 r > 0 の開（計量）球体 B r(p)（あるいは B(p; r) は B r ( p ) ≜ { x ∈ M ∣ d ( x , p ) < r } {\displaystyle B_{r}(p)\triangleq \{x\in M\mid d(x,p) 0 としているので、球体は（開閉何れも）必ず中心の点 p は含むことに注意。 通例のように閉包を上付きの横棒で表すものとすると、Br(p) ⊆ Br(p) および Br(p) ⊆ Br[p] は必ず成り立つが、いっぽう Br(p) = Br[p] は必ずしも成立しない。例えば離散距離空間 X において B 1 ( p ) ¯ = { p } ≠ B 1 [ p ] = X ( ∀ p ∈ X ) {\displaystyle {\overline {B_{1}(p)}}=\{p\}\neq B_{1}[p]=X\quad (\forall p\in X)} となることが確かめられる。 半径 1 の球体、開球体、閉球体をそれぞれ単位球体、単位開球体（開単位球体）、単位閉球体（閉単位球体）と呼ぶ。 距離空間の部分集合が有界であるとは、それが適当な球体にまったく含まれることを言う。また全有界であるとは任意に与えた半径を共通して持つ球体の有限個を用いて必ず被覆できるときに言う。 距離空間においてその開球体全体は、位相の開基として、その任意の開集合を開球体の合併に表すことができる。このように得られる位相空間は、距離函数 d の誘導する位相を備えていると言う。