一般の粘性減衰
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 03:37 UTC 版)
「線形多自由度系の振動」の記事における「一般の粘性減衰」の解説
減衰行列 C が存在する線形多自由度系の振動について考える。外力が無い場合の n 自由度系の運動方程式は以下のようになる。 M x ¨ + C x ˙ + K x = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {M{\ddot {x}}}}+{\boldsymbol {C{\dot {x}}}}+{\boldsymbol {Kx}}={\boldsymbol {0}}} (4.1) 基礎の上でばねと減衰器が一組となって質点と連結し、直列に連なった3自由度減衰系の典型的な例では、M, C, K は次のような行列となる。 M = ( m 1 0 0 0 m 2 0 0 0 m 3 ) {\displaystyle {\boldsymbol {M}}={\begin{pmatrix}m_{1}&0&0\\0&m_{2}&0\\0&0&m_{3}\end{pmatrix}}} (4.2) C = ( c 1 − c 1 0 − c 1 c 1 + c 2 − c 2 0 − c 2 c 2 + c 3 ) {\displaystyle {\boldsymbol {C}}={\begin{pmatrix}c_{1}&-c_{1}&0\\-c_{1}&c_{1}+c_{2}&-c_{2}\\0&-c_{2}&c_{2}+c_{3}\end{pmatrix}}} (4.3) K = ( k 1 − k 1 0 − k 1 k 1 + k 2 − k 2 0 − k 2 k 2 + k 3 ) {\displaystyle {\boldsymbol {K}}={\begin{pmatrix}k_{1}&-k_{1}&0\\-k_{1}&k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\0&-k_{2}&k_{2}+k_{3}\end{pmatrix}}} (4.4) 式4.1の解を式3.2と同じように仮定し、式3.2を式4.1に代入して整理すると、 ( λ 2 M + λ C + K ) u = 0 {\displaystyle (\lambda ^{2}{\boldsymbol {M}}+\lambda {\boldsymbol {C}}+{\boldsymbol {K}}){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}} (4.5) となり、u = 0 以外の解を持つという条件から det ( λ 2 M + λ C + K ) {\displaystyle {\mbox{det}}(\lambda ^{2}{\boldsymbol {M}}+\lambda {\boldsymbol {C}}+{\boldsymbol {K}})} (4.6) という特性方程式が得られる。式4.6を展開すると、λ に関する 2n 次多項式となる。この多項式を解いて得た解 λ1, λ2, …, λ2n を式4.5に代入し、u を定め、u に適当な正規化を行う。正規化された各ベクトルを ū1, ū2, …, ū2n と表すと、式4.1の一般解は x = u ¯ 1 a 1 e λ 1 t + u ¯ 2 a 2 e λ 2 t + ⋯ + u ¯ 2 n a 2 n e λ 2 n t {\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {\overline {u}}}_{1}a_{1}e^{\lambda _{1}t}+{\boldsymbol {\overline {u}}}_{2}a_{2}e^{\lambda _{2}t}+\cdots +{\boldsymbol {\overline {u}}}_{2n}a_{2n}e^{\lambda _{2n}t}} (4.7) となる。ここで、a1, a2, …, a2n は初期条件で決まる定数である。2n 個の λ は、解が減衰振動であれば n 組の互いに共役な複素数になる。このとき、固有モードも複素数となり、複素固有モードと呼ばれる。
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