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線形多自由度系の振動

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 03:37 UTC 版)

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振動工学における線形多自由度系の振動（せんけいたじゆうどけいのしんどう）は、線形な特性を持ち、さらに2以上の自由度を持つ系で起きる振動である。運動方程式は一般的に連立2階常微分方程式となり、行列およびベクトルで表現される。

線形多自由度系の振動では、固有モードという多自由度系特有の概念が現れ、自由度の数だけ固有モードと固有振動数の組が存在する。固有モードの直交性によって、減衰の無い系であれば固有モードごとの1自由度系の問題に帰着でき、振動解析を容易化できるのが特徴である。この手法を利用した振動解析手法はモード解析と呼ばれる。減衰のある系でも、比例粘性減衰という仮定を導入することによって、同様なことが可能となる。

モード解析手法は、振動実験結果から振動特性を同定するのにも使われる。有限要素法による連続体の振動計算においても、線形多自由度系の理論にもとづくモード解析手法が強力な効果を発揮し、振動解析を容易にする。

背景

振動の問題を分類すると、あるいは振動現象を模した動力学モデルを分類すると、いくつかの視点が存在する^[1]。

質点がばねとダッシュポットを介して基礎に固定されたモデル

物体の運動を表すのに必要な座標あるいは変位の数を、自由度という^[2]。自由度が1の系を1自由度系という^[3]。ある1つの質点がばねとダッシュポットを介して地面に固定され、質点が上下方向のみ動く例を考える。三角関数で表現される励振力がこの質点に加わるとき、この質点の運動方程式は次のような形で与えられる^[4]。

m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=f_{0}\cos \omega t

建築物の例では、複数の階を持つ多層構造物が多自由度系の問題となる^[36]。柱と床から構成されるラーメン構造の建物が振動する場合を考える。柱は床に比べて柔らかいので、構造物が揺れるとき各階の床は水平方向に揺れ、柱は水平方向のばねとして働くと見なせる^[37]。これは、水平方向のみに動く2つの質点をばねで連結した2自由度系モデルと等価となる^[38]。2層構造物における、1層目の床質量を m₁、2層目の床質量を m₂、1層目の水平変位を x₁、2層目の水平変位を x₂、基礎と1層目の間の等価ばね定数を k₁、1層目と2層目の間の等価ばね定数を k₂ とすると、このモデルの運動方程式は

{\begin{cases}m_{1}{\ddot {x}}_{1}+(k_{1}+k_{2})x_{1}-k_{2}x_{2}=0\\m_{2}{\ddot {x}}_{2}-k_{2}x_{1}+k_{2}x_{2}=0\end{cases}}

並進運動と回転運動が組み合わさった2自由度系の例として、自動車の上下振動とピッチング振動の簡易モデルがある^[40]。自動車を側面から見て、上下方向変位とピッチング回転だけの動きを考える。前位側のタイヤとサスペンションを1つのばねと見なして、後位側のタイヤとサスペンションも同様に1つのばねと見なし、剛体を前位と後位を2つのばねが支えているモデルを考える^[41]。前位側と後位側のばねのばね定数をそれぞれ k₁、k₂ とする。剛体の重心位置から前位側のばねまでの距離を l₁、前位側のばねまでの距離を l₂ とする。剛体の質量を m、重心位置周りのピッチング方向の慣性モーメントを I_G とする。この剛体の重心の上下運動 x とその周りのピッチング運動 θ の運動方程式は次のようになる^[42]。

{\begin{cases}m{\ddot {x}}+(k_{1}+k_{2})x+(k_{2}l_{2}-k_{1}l_{1})\theta =0\\I_{G}{\ddot {\theta }}+(k_{2}l_{2}-k_{1}l_{1})x+(k_{2}l_{2}^{2}+k_{1}l_{1}^{2})\theta =0\end{cases}}

式3.8で表されるベクトルが式3.4における固有ベクトルであり、振動工学では固有モード、振動モード、固有振動モード、基準振動モード、モードベクトルなどと呼ぶ^[76]。n 自由度系には n 個の固有角振動数があり、固有角振動数それぞれに対応する形で n 個の固有モードが存在している^[77]。各自由度の振幅比を決める固有モードは、固有角振動数が「振動の速さ」を表しているのに対して、「振動の形」を表していると言える^[78]。自由度の数の分だけ固有角振動数が存在し、それら固有角振動数に対応して固有モードが存在していることが、線形多自由度系の特有な性質といえる^[79]。

各々の固有モードを、対応する固有角振動数が小さい順に1次固有モード、2次固有モード、…、r 次固有モード、…、n 次固有モードと呼ぶ^[80]。特に、基本振動数（1次の固有角振動数）に対応する固有モードは基本モードと呼ばれる^[69]。固有モード u_r を次数が低い順に並べて作る、下記のような行列をモード行列やモードマトリックスという^[81]。

{\boldsymbol {U}}=({\boldsymbol {u}}_{1},\ {\boldsymbol {u}}_{2},\ \cdots ,\ {\boldsymbol {u}}_{n})={\begin{pmatrix}u_{11}&u_{21}&\cdots &u_{1n}\\u_{21}&u_{22}&\cdots &u_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\u_{n1}&u_{n2}&\cdots &u_{nn}\end{pmatrix}}

式3.24は非連成化されており、各式はそれぞれ独立している^[110]。そのため、一つ一つの式は1自由度系の不減衰自由振動と同じであるから、q の各解は以下のようになる^[110]。

{\begin{cases}q_{1}=c_{1}\sin(\omega _{1}t+\theta _{1})\\q_{2}=c_{n}\sin(\omega _{2}t+\theta _{2})\\\vdots \\q_{n}=c_{n}\sin(\omega _{n}t+\theta _{n})\\\end{cases}}

減衰行列 C が存在する線形多自由度系の振動について考える。外力が無い場合の n 自由度系の運動方程式は以下のようになる^[118]。

{\boldsymbol {M{\ddot {x}}}}+{\boldsymbol {C{\dot {x}}}}+{\boldsymbol {Kx}}={\boldsymbol {0}}

これらの周波数応答関数によって、系の周波数特性が把握できる^[161]。線形多自由度系の場合は、固有角振動数と固有モードを求めれば、調和外力による強制振動に対する周波数特性も同時に理解することができる^[161]。横軸に振動数や強制振動比を取り、縦軸に調和外力に対する振幅比や位相差を図示したものを応答曲線や共振曲線と呼ぶ^[162]。縦軸をデシベルにして図示したものは特にボード線図と呼ばれる^[163]。系の振動特性を振動実験から同定する実験モード解析では、実験値に上記の周波数応答関数でカーブフィッティングして系の各種パラメータを推定する^[164]。

上述のように、励振力の振動数が系の固有角振動数に一致すると、振動は極大化する。一方、多自由度系では共振して振幅が発散する現象だけでなく、励振力が特定の角振動数のときに周波数応答関数が極小になる現象もある^[151]。このような現象を反共振と呼ぶ^[151]。ただし、共振が系全体で起こるのに対して、反共振は一組の加振点・応答点ごとにしか起こらない^[165]。周波数応答関数の絶対値を縦軸にした応答曲線上では、共振点は曲線の鋭い山のように現れ、反共振は曲線の鋭い谷のように現れる^[166]。反共振は、代表的な制振器である動吸振器の原理として活用される^[167]。振動を抑えたい対象にばね・ダンパを介して付加質量を取り付けることによって振動を抑制でき、地震や強風に対する建築構造物の防振や回転機械の防振などに使われる^[168]。

刺激係数

刺激係数は、地震のように構造物の基礎が揺れている場合に、その励振が各モードに対してどのぐらい強く寄与するのかを表す^[169]。構造物を多質点系でモデル化して、基礎の変位を y として、各質点の基礎からの相対変位を x とする。各質点は　ẍ_i + ÿ の加速度を受けるため、運動方程式は

{\boldsymbol {M{\ddot {x}}}}+{\boldsymbol {C{\dot {x}}}}+{\boldsymbol {Kx}}=-{\boldsymbol {M1}}{\ddot {y}}

(5.18)

となる^[170]。ここで 1 は成分が全て 1 の縦ベクトルである。式5.18において、C をレイリー減衰で表し、さらに x をモード座標に置き換え、左から転置したモード行列を掛けて整理すれば、下記のような各モード座標についての式になる^[169]。

{\begin{cases}{\ddot {q}}_{1}+2\zeta _{1}\omega _{1}{\dot {q}}_{1}+\omega _{1}^{2}q_{1}=-{\dfrac {\boldsymbol {u_{1}^{\top }M1}}{M_{1}}}{\ddot {y}}\\{\ddot {q}}_{2}+2\zeta _{2}\omega _{2}{\dot {q}}_{2}+\omega _{2}^{2}q_{2}=-{\dfrac {\boldsymbol {u_{2}^{\top }M1}}{M_{2}}}{\ddot {y}}\\\vdots \\{\ddot {q}}_{n}+2\zeta _{n}\omega _{n}{\dot {q}}_{n}+\omega _{n}^{2}q_{n}=-{\dfrac {\boldsymbol {u_{n}^{\top }M1}}{M_{n}}}{\ddot {y}}\\\end{cases}}

(5.19)

さらに、上式の ÿ の係数を次のように変形する^[169]。

{\dfrac {\boldsymbol {u_{r}^{\top }M1}}{M_{r}}}={\dfrac {\boldsymbol {u_{r}^{\top }M1}}{\boldsymbol {u_{r}^{\top }Mu_{r}}}}=\beta _{r}

(5.20)

この β_r を r 次の刺激係数と呼び、r 次モードの運動方程式は次のようになる^[171]。

{\ddot {q}}_{r}+2\zeta _{r}\omega _{r}{\dot {q}}_{r}+\omega _{r}^{2}q_{n}=-\beta _{r}{\ddot {y}}

(5.21)

つまり、β_r は励振加速度が各モードに対してどのぐらい寄与しているか、あるいは各モードは基礎励振に対してどのぐらい影響を受けやすいかを表している^[170]。さらに、r 次の刺激係数と固有モードの積を r 次の刺激関数と呼び、刺激関数の総和は次のように 1 に等しい^[169]。

\beta _{1}{\boldsymbol {u}}_{1}+\beta _{2}{\boldsymbol {u}}_{2}+\ \cdots \ +\beta _{n}{\boldsymbol {u}}_{n}={\boldsymbol {1}}

(5.22)

すなわち、対称の振動系に 1 という外力ベクトルが加わったときに各モードが受ける度合いを、刺激関数は表している^[169]。

有限要素法による連続体の振動への応用

多自由度系では、質点または剛体から成る系を想定し、剛性、減衰、慣性などの振動特性も局所的に集中して系内で点在しているというモデルを考えていた^[172]。一方で、実際の物体は、物体自体が変形する^[173]。実際の物体は連続体としての性質を有しており、質量、剛性などは連続的に系内に分布しているモデルとなる^[174]。実際の問題では、多自由度系に近似して取り扱っても十分な場合も多いが、振動時の機械・構造物の各部の変形や応力といったものを知るには連続体として取り扱う必要ある^[175]。

連続体の振動の運動方程式は時間と空間に関する偏微分方程式で記述され、厳密解が得られることは限られる^[173]。実際の複雑な形状の構造物で連続体の振動を扱うには、実用的には有限要素法という手法が用いられる^[176]。有限要素法では、対象の連続体を小さな有限要素に分割し、連続体を多自由度系に置き換えて解を計算する^[177]。有限要素法においても、線形多自由度系の理論にもとづくモード解析手法が強力な効果を発揮し、振動解析が精度良くかつ容易にできるようになる^[178]。

有限要素法による振動解析では、立てられた振動数方程式の数値計算を行い、まず固有振動数と固有モードを得る^[115]。次いで、固有モードの直交性を利用して周波数応答関数を得て、応答解析を行う^[115]。もし、定式化された運動方程式が1万自由度だとしたら、解くべき方程式は1万元の2次連立微分方程式となり、コンピュータを用いても計算に長時間を要する^[179]。しかし、モード解析手法を用いれば、1自由度系の解を1万回解いて、重ね合わせるだけで解が得られる^[180]。さらに、対象が大規模自由度になったとしても、自由度の分だけ現れるモードを全て計算する必要性もない^[181]。実用的に興味のある外力振動数を含む次数までモードの重ね合わせでも、十分な精度の振動応答解析が可能となる^[181]。上記の1万自由度の例えで言えば、1自由度系の解を1万回解く必要もなく、もっと少ない回数の計算で事足りるようになる^[182]。これらの長所によって、モード解析手法は有限要素法による振動解析で絶大な威力を発揮し、数十万規模の自由度を扱うような有限要素法計算であっても、モード解析手法の適用によって特段の支障なく計算が可能となる^[183]。

係数行列が非対称行列の場合

質量行列 M（式2.2）、減衰行列 C（式2.3）、あるいは剛性行列 K （式2.4）が正定値の条件を満たさない場合、すなわち実対称行列ではなく、非対称行列であるとき、その系では不安定振動が起こることがある^[184]。このような条件では、式4.6で表される特性方程式の固有値 λ に、実部が正の固有値が含まれることがありえる^[185]。固有値に実部を正とする複素数が含まれるとき、時間とともに振幅が大きくなっていく振動が起こる^[120]。このようなメカニズムは、自励振動が起こりえる系で平衡点から振動が成長するか否かを考察する上で基礎となる^[186]。自励振動は1自由度系でも起きる現象だが、係数行列が非対称であることによって引きこされる種類の自励振動は、多自由度系特有のものである^[187]。

例として、次のような2自由度不減衰系を考える^[188]。

{\begin{pmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\ddot {x}}_{1}\\{\ddot {x}}_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}k_{11}&k_{12}\\k_{21}&k_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}

(7.1)

ただし、k₁₂ ≠ k₂₁ で、剛性行列は非対称行列である^[188]。さらに、k₁₂ と k₂₁ のどちらかが正でどちらかが負であるような異符号の関係にあるとき、固有値は

\lambda =\pm \lambda _{r}\pm i\lambda _{i}

(7.2)

という形の複素数となる^[188]。λ_r とλ_i は

\lambda _{r}={\frac {1}{2}}{\sqrt {-\omega _{tr}+{\sqrt {\omega _{tr}^{2}-\omega _{diff}^{2}-4\omega _{sk}}}}}

(7.3)

\lambda _{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\omega _{tr}+{\sqrt {\omega _{tr}^{2}-\omega _{diff}^{2}-4\omega _{sk}}}}}

(7.4)

で与えられ、ここで、ω_tr = k₁₁/m₁ + k₂₂/m₂, ω_diff = k₁₁/m₁ − k₂₂/m₂, ω_sk = (k₁₂/m₁)(k₂₁/m₂) である^[188]。λ_r は発散率と呼ばれ、自励振動の強さを表す^[188]。

このような係数行列の非対称性によって起きる自励振動の事例は機械振動の中で多く見られ、クーロン摩擦による摩擦振動や滑り軸受で起こるオイルホイップなどがある^[189]。

出典

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参照文献

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下郷太郎・田島清灝、2002、『振動学』初版、コロナ社〈機械系大学講義シリーズ 11〉 ISBN 4-339-04045-2
入江敏博・小林幸徳、2006、『機械振動学通論』第3版、朝倉書店 ISBN 978-4-254-23116-8
吉川孝雄・松井剛一・石井徳章、1987、『機械の力学』初版、コロナ社 ISBN 978-4-339-04273-3
安田仁彦、2012、『振動工学 ―基礎編』改訂版、コロナ社 ISBN 978-4-339-04624-3
藤田勝久、2016、『振動工学 ―振動の基礎から実用解析入門まで』新装版、森北出版 ISBN 978-4-627-66542-2
日本機械学会（編）、2004、『機械力学』第1版、丸善〈機械工学便覧基礎編 α2〉 ISBN 4-88898-116-7
砂子田勝昭・伊藤智博・鄭萬溶・平元和彦、2012、『わかりやすい振動工学』初版、共立出版 ISBN 978-4-320-08185-7
宮本裕司・永野正行・藤谷秀雄・吉村智昭、宮本裕司（編）、2014、『建築振動を学ぶ ―地震から免震・制震まで』初版、理工図書 ISBN 978-4-8446-0824-0
平井一男・水田洋司、2018、『耐震工学入門』第3版・補訂版、森北出版 ISBN 978-4-627-46454-4
背戸一登・丸山晃市、2002、『振動工学 ―解析から設計まで』第1版、森北出版 ISBN 4-627-66451-6