不減衰系
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 03:37 UTC 版)
「線形多自由度系の振動」の記事における「不減衰系」の解説
任意の励振力を受ける減衰の無い系の運動方程式は以下のように表される。 M x ¨ + K x = f {\displaystyle {\boldsymbol {M{\ddot {x}}}}+{\boldsymbol {Kx}}={\boldsymbol {f}}} (5.1) 例えば、励振力が角振動数 Ω の余弦関数で与えられるとすれば、 M x ¨ + K x = f a cos Ω t {\displaystyle {\boldsymbol {M{\ddot {x}}}}+{\boldsymbol {Kx}}={\boldsymbol {f_{a}}}\cos {\mathit {\Omega }}t} (5.2) となる。ここで、fa は、以下のような各自由度に対する励振力の振幅値の縦ベクトルである。 f a = ( f a , 1 f a , 2 ⋮ f a , n ) {\displaystyle {\boldsymbol {f_{a}}}={\begin{pmatrix}f_{a,1}\\f_{a,2}\\\vdots \\f_{a,n}\end{pmatrix}}} 式5.2に対して特解を x = u cosΩt と仮定し、式5.2に代入すれば ( M − Ω 2 K ) u = f a {\displaystyle ({\boldsymbol {M}}-{\mathit {\Omega }}^{2}{\boldsymbol {K}}){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {f_{a}}}} (5.3) となるので、u および x は、 u = ( M − Ω 2 K ) − 1 f a {\displaystyle {\boldsymbol {u}}=({\boldsymbol {M}}-{\mathit {\Omega }}^{2}{\boldsymbol {K}})^{-1}{\boldsymbol {f_{a}}}} (5.4) x = ( M − Ω 2 K ) − 1 f a cos Ω t {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=({\boldsymbol {M}}-{\mathit {\Omega }}^{2}{\boldsymbol {K}})^{-1}{\boldsymbol {f_{a}}}\cos {\mathit {\Omega }}t} (5.5) となる。ここで "−1" は逆行列を意味する。したがって、逆行列 (M − Ω2K)−1 を計算すれば式5.5から x の値が分かる。しかし、この逆行列を解析的に解くことは困難で、数値計算を行うにしても自由度の数が増えると膨大な計算量になる。もし励振力の角振動数 Ω を変えると、そのたびに逆行列を計算する必要がある。そのため、実際に x の解を求めるために行われるのは、下記のようなモード解析による手法である。 解を得るために、x を複素数に拡張し、励振力 f を複素指数関数 fae jΩt の形で与えるとする。この場合、計算して解が得られた後に実部あるいは虚部を取ることで、実際の解が得られる。運動方程式5.1の右辺を 0 としたときのモード行列 U が、事前に求められているとする。モード座標への変換式3.21を運動方程式5.1へ適用して、左から U⊤ を掛け、式3.14と式3.15の対角化を適用する。すると、励振力を受ける不減衰系の運動方程式は { M 1 q ¨ 1 + K 1 q 1 = F 1 e j ω t M 2 q ¨ 2 + K 2 q 2 = F 2 e j ω t ⋮ M n q ¨ n + K n q n = F n e j ω t {\displaystyle {\begin{cases}M_{1}{\ddot {q}}_{1}+K_{1}q_{1}=F_{1}e^{j\omega t}\\M_{2}{\ddot {q}}_{2}+K_{2}q_{2}=F_{2}e^{j\omega t}\\\vdots \\M_{n}{\ddot {q}}_{n}+K_{n}q_{n}=F_{n}e^{j\omega t}\\\end{cases}}} (5.6) という独立・非連成の n 個の運動方程式に帰着する。ただし、右辺の Fr は次のような値である。 F r = u r ⊤ f a {\displaystyle F_{r}={\boldsymbol {u}}_{r}^{\top }{\boldsymbol {f_{a}}}} (5.7) 式5.6は線形1自由度系と同じなので、強制振動を表す特解は、 q r = F r K r − M r Ω 2 e j Ω t {\displaystyle q_{r}={\frac {F_{r}}{K_{r}-M_{r}{\mathit {\Omega }}^{2}}}e^{j{\mathit {\Omega }}t}} (5.8) となる。式3.21を使ってモード座標を物理座標へ逆変換し、固有角振動数を使って整理すれば強制振動の解は次のようになる。 x = ∑ r = 1 n F r K r − M r Ω 2 u r e j Ω t = ∑ r = 1 n F r M r ( ω r 2 − Ω 2 ) u r e j Ω t {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\sum _{r=1}^{n}{\frac {F_{r}}{K_{r}-M_{r}{\mathit {\Omega }}^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{r}e^{j{\mathit {\Omega }}t}=\sum _{r=1}^{n}{\frac {F_{r}}{M_{r}(\omega _{r}^{2}-{\mathit {\Omega }}^{2})}}{\boldsymbol {u}}_{r}e^{j{\mathit {\Omega }}t}} (5.9) 式5.9から分かることは、励振力の角振動数 Ω が系の固有角振動数 ω1, ω2, …, ωn のどれかに近いとき、係数の極限が 0 となってその振動成分が極めて大きくなり、共振が起こるという点である。Ω が固有角振動数のいずれかに一致するとき、x の振幅は無限大に発散する。
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