変換 (数学)
逆変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 15:30 UTC 版)
「中国における地理的データの制限」の記事における「逆変換」の解説
GCJ-02座標系には 20 n sin ( 180 k × l a t r a d ) {\displaystyle 20n\sin {}(180k\times lat_{rad})} の形で表される複数の高周波のノイズが用いられており、効果的に超越関数を作り、解析的解法を排除することが出来る。しかし、オープンソースで公開されている逆変換ではGCJ-02座標系の特性である局所的な線形性と単調性を活用しており、変換した座標はWGS84座標系からそれほどずれたものではない。 from typing import Callable# 座標を複素数で表し単純にするcoords = complex# 座標から座標に変換する関数C2C = Callable[[coords], coords]def rev_transform_rough(bad: coords, worsen: C2C) -> coords: """ おおよそ ``worsen``変換を逆転させる. ``bad = worsen(good)``は``good``に近いため, ``worsen(bad) - bad`` はおおよそ ``bad - good``として使える よって``bad - (worsen(bad) - bad)``はおおむね ``bad - (bad - good) = good``である この略算法はeviltransformで初めに見られたものである。 """ return bad - (worsen(bad) - bad)def rev_transform(bad: coords, worsen: C2C) -> coords: """ より正確に``worsen``変換を逆転させる. ``rev_transform_rough``と同様に、 ``worsen(a) - worsen(b)`` を``a - b``の近似として扱える。 これはgeoChina/R/cst.R (caijun 2014)で初めて見られたものである。 おおよその初期化のない、反復のみのものはfengzee-me/ChinaMapShift (November 2013)から知られている。 """ eps = 1e-6 wgs = rev_transform_rough(bad, worsen) old = bad dowhile = True # 最初のepsの試行で失敗する可能性があるため while abs(wgs - old) > eps or dowhile: old = wgs wgs -= worsen(wgs) - bad dowhile = False return wgs 略算的な方法でも1〜2 m程度の精度でWGS-84座標系による座標が得られ、より精度を上げた方法では2回の反復でセンチメートルレベルの精度が得られる。これら2つの特性は座標系のいくつかの基本的な機能を保証しているため、この逆変換の方法は新しい座標系でも変わることなく適用できる。BD-09座標系からGCJ-02座標系に変換するプログラムは上記の略算法では、明らかに付加された20秒程度の定数のずれをまず取り除く。
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逆変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/01 14:56 UTC 版)
ハートレー変換は、それ自身が逆変換（対合）であるという便利な性質を持つ。すなわち f = { H { H f } } {\displaystyle f=\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}} が成立する。
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逆変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/07 02:36 UTC 版)
関数 f(x) のルジャンドル変換 f*(p) に対して再びルジャンドル変換を施した関数を f**(x) とする： f ∗ ∗ ( x ) ≡ sup p ( x p − f ∗ ( p ) ) . {\displaystyle f^{**}(x)\equiv \sup _{p}(xp-f^{*}(p)).} f(x) が下に凸であれば、f**(x) はもとの関数 f(x) に等しい： f ∗ ∗ ( x ) = f ( x ) . {\displaystyle f^{**}(x)=f(x).} つまりルジャンドル変換の逆変換はルジャンドル変換そのものとなる。 簡単な証明として、関数が滑らかな凸関数である場合についてこのことを示す。まず関数 f を 2 回ルジャンドル変換をすると以下のようになる。 f ∗ ∗ ( x ) = x p ∗ ( x ) − f ∗ ( p ∗ ( x ) ) = x p ∗ ( x ) − p ∗ ( x ) x ∗ ( p ∗ ( x ) ) + f ( x ∗ ( p ∗ ( x ) ) ) . {\displaystyle f^{**}(x)=xp^{*}(x)-f^{*}(p^{*}(x))=xp^{*}(x)-p^{*}(x)x^{*}(p^{*}(x))+f(x^{*}(p^{*}(x))).} p*(x) は .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}d/dp f*(p) の逆関数であり、x*(p) は f'(x) = d/dx f(x) の逆関数なので、 d f ∗ ( p ) d p = x ∗ ( p ) + p d x ∗ ( p ) d p − d x ∗ ( p ) d p d f ( x ∗ ( p ) ) d x = x ∗ ( p ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f^{*}(p)}{\mathrm {d} p}}=x^{*}(p)+p{\frac {\mathrm {d} x^{*}(p)}{\mathrm {d} p}}-{\frac {\mathrm {d} x^{*}(p)}{\mathrm {d} p}}{\frac {\mathrm {d} f(x^{*}(p))}{\mathrm {d} x}}=x^{*}(p).} p*(x) は x*(p) の逆関数でもあり、x*(p*(x)) = x が成り立つ。このことから、f** はもとの関数 f に等しいことが示される。 f ∗ ∗ ( x ) = x p ∗ ( x ) − p ∗ ( x ) x + f ( x ) = f ( x ) . {\displaystyle f^{**}(x)=xp^{*}(x)-p^{*}(x)x+f(x)=f(x).}
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逆変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/10 14:50 UTC 版)
コンビネータの項からラムダ項への変換L[ ]は自明である。 L[I] = λx.x L[K] = λx.λy.x L[C] = λx.λy.λz.(x z y) L[B] = λx.λy.λz.(x (y z)) L[S] = λx.λy.λz.(x z (y z)) L[(E₁ E₂)] = (L[E₁] L[E₂]) これは、前述のT[ ]の逆変換ではないことに注意。
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逆変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/08 05:20 UTC 版)
逆変換は正変換と同じと考えて良いが、指数の符号が逆であり、係数 1/N が掛かる。 離散フーリエ変換を F ( t ) = ∑ x = 0 N − 1 f ( x ) exp ( − i 2 π t x N ) {\displaystyle F(t)=\sum _{x=0}^{N-1}f(x)\exp \left(-i{\frac {2\pi tx}{N}}\right)} で定義したとき、逆変換は f ( x ) = 1 N ∑ t = 0 N − 1 F ( t ) exp ( i 2 π t x N ) = 1 N ∑ t = 0 N − 1 F ( t ) ¯ exp ( − i 2 π t x N ) ¯ {\displaystyle f(x)={\frac {1}{N}}\sum _{t=0}^{N-1}F(t)\exp \left(i{\frac {2\pi {tx}}{N}}\right)={\frac {1}{N}}{\overline {\sum _{t=0}^{N-1}{\overline {F(t)}}\exp \left(-i{\frac {2\pi tx}{N}}\right)}}} となる。 このため、F(t) の離散フーリエ逆変換を求めるには、 (1) 複素共役を取り、F(t) を求める、 (2) F(t) の正変換の離散フーリエ変換を高速フーリエ変換で行う、 (3) その結果の複素共役を取り、N で割る とすれば良く、正変換の高速フーリエ変換のプログラムがあれば、逆変換は容易に作ることができる。
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逆変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/19 07:00 UTC 版)
「離散時間フーリエ変換」の記事における「逆変換」の解説
以下の逆変換は離散時間のシーケンスを回復させる。 x [ n ] {\displaystyle x[n]\,} = 1 2 π ∫ − π π X ( ω ) ⋅ e i ω n d ω {\displaystyle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }X(\omega )\cdot e^{i\omega n}\,d\omega } = T ∫ − 1 2 T 1 2 T X T ( f ) ⋅ e i 2 π f n T d f {\displaystyle =T\int _{-{\frac {1}{2T}}}^{\frac {1}{2T}}X_{T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} 積分区間はDTFTの一周期全体であり、これは {x[n]} の標本群がDTFTのフーリエ級数展開の係数でもあることを示している。無限区間の積分では、この変換が通常のフーリエ変換の逆変換となり、ディラックのインパルスも復元する。すなわち次のようになる。 ∫ − ∞ ∞ X T ( f ) ⋅ e i 2 π f t d f = x T ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] ⋅ δ ( t − n T ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }X_{T}(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df\ =\ x_{T}(t)\ =\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)}
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逆変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/10 05:38 UTC 版)
「離散フーリエ変換 (一般)」の記事における「逆変換」の解説
逆離散フーリエ変換は、以下の式で与えられる： v j = 1 n ∑ k = 0 n − 1 f k α − j k . ( 3 ) {\displaystyle v_{j}={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f_{k}\alpha ^{-jk}.\qquad (3)} ここで、 1 / n {\displaystyle 1/n} は R {\displaystyle R} における n {\displaystyle n} の乗法逆元である。（もしこれが存在しないならば、DFTは逆変換できない。） 証明：式(2)を式(3)の右辺に代入すると 1 n ∑ k = 0 n − 1 f k α − j k = 1 n ∑ k = 0 n − 1 ∑ j ′ = 0 n − 1 v j ′ α j ′ k α − j k = 1 n ∑ j ′ = 0 n − 1 v j ′ ∑ k = 0 n − 1 α ( j ′ − j ) k . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f_{k}\alpha ^{-jk}\\={}&{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{j'=0}^{n-1}v_{j'}\alpha ^{j'k}\alpha ^{-jk}\\={}&{\frac {1}{n}}\sum _{j'=0}^{n-1}v_{j'}\sum _{k=0}^{n-1}\alpha ^{(j'-j)k}.\end{aligned}}} が得られる。 j ′ ≠ j {\displaystyle j'\neq j} ならば ∑ k = 0 n − 1 α ( j ′ − j ) k = 0 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\alpha ^{(j'-j)k}=0} であり（式(1)で k = j ′ − j {\displaystyle k=j'-j} と置けばよい）、 j ′ = j {\displaystyle j'=j} ならば ∑ k = 0 n − 1 α ( j ′ − j ) k = n {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\alpha ^{(j'-j)k}=n} が成り立つので、上の式は v j {\displaystyle v_{j}} とちょうど一致する。∎
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逆変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/29 01:54 UTC 版)
DCT-Iの逆変換は、DCT-Iの 2/(N − 1) 倍である。DCT-IVの逆変換は、DCT-IVの 2/N 倍である。DCT-IIの逆変換はDCT-IIIの 2/N 倍で、DCT-IIIの逆変換はDCT-IIの 2/N 倍である。 DFT同様、これらの変換公式の最前部にある標準化係数は便宜的なもので、扱いによって異なる。たとえば変換式を 2 / N {\displaystyle {\sqrt {2/N}}} 倍（DCT-Iでは {2/(N − 1)}1/2 倍）する著者もおり、その場合何も乗算しなくても逆変換になる。
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