離散時間フーリエ変換とは？わかりやすく解説

離散時間フーリエ変換 （りさんじかんフーリエへんかん、（英: discrete-time Fourier transform, DTFT）は無限長の離散時間信号をフーリエ変換様に周波数領域へ変換する操作である^[1]。

DTFTの周波数領域の表現は常に周期的関数である。したがって1つの周期に必要な情報が全て含まれるため、DTFTを「有限な」周波数領域への変換であるということもある。

定義

${\\displaystyle \\omega \\in \\mathbb {R} ^{1}}$

L = 64 および N = 64 についての DFT

DTFT はZ変換の特殊ケースである。両側Z変換は次のように定義される。

{\\displaystyle X(z)=\\sum _{n=-\\infty }^{\\infty }x[n]\\,z^{-n}}

A, B は実数
C は複素数

1 2 離散時間信号 ... の離散時間フーリエ変換 ... ${\\displaystyle X(e^{j\\omega })}$ は ... 周波数スペクトルともよばれる．(越田 2008, p. 5)
↑ 離散時間信号 ... の離散時間フーリエ変換 ... は，次のように定義される．(越田 2008, p. 5)
1 2 周波数ωが連続的な変数となっており(越田 2008, p. 5)
↑ 離散化された時間関数のフーリエ変換は、周期的な連続周波数関数となる（離散時間フーリエ変換）p.6 より引用。Hima (2013-03-22). “基礎からの周波数分析（8）－「離散フーリエ変換（DFT）」”. ONO SOKKI -- info channel (小野測器) (138): 1-6.
↑ 離散時間フーリエ変換 ... から信号 ... を求める演算は離散時間フーリエ逆変換とよばれ(越田 2008, p. 5)
↑ 離散時間フーリエ逆変換 ... 次式で与えられる．(越田 2008, p. 5)

Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999年). Discrete-Time Signal Processing (2nd Edition ed.). Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 0-13-754920-2
William McC. Siebert (1986年). Circuits, Signals, and Systems. MIT Electrical Engineering and Computer Science Series. Cambridge, MA: MIT Press
Boaz Porat. A Course in Digital Signal Processing. John Wiley and Sons. pp. pp. 27-29 and 104-105. ISBN 0-471-14961-6
越田俊介「1群-9編-1章ディジタル信号処理の基礎理論」『知識の森』電子情報通信学会、2008年、1-10頁。

表話編歴デジタル信号処理
理論	信号検出理論（英語版）離散信号信号検定（英語版）標本化定理
サブフィールド	音響信号処理デジタル画像処理音声処理統計的信号処理（英語版）
テクニック	双一次変換離散フーリエ変換（DFT）離散時間フーリエ変換（DTFT） Z変換ザック変換（英語版）
標本化	折り返し雑音ナイキスト周波数量子化サンプリング周波数