標本化との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/19 07:00 UTC 版)
「離散時間フーリエ変換」の記事における「標本化との関係」の解説
名称が暗に示している通り、{x[n]} は連続時間関数 x ( t ) {\displaystyle x(t)\,} の値（標本）を表している。このときの標本化間隔を T {\displaystyle T\,} としたとき、各標本の採取時刻は t = n T {\displaystyle t=nT\quad } であり、 1 / T = f s {\displaystyle 1/T=f_{s}\,} がサンプリング周波数となる。DTFTは次の連続時間フーリエ変換の近似である。 X ( f ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) ⋅ e − i 2 π f t d t {\displaystyle X(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt} 標本化定理で示されるように、次のくし型関数の変調に x ( n T ) {\displaystyle x(nT)\,} の値を使用すると見ることもできる。 Δ T ( t ) = T ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T ) {\displaystyle \Delta _{T}(t)=T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\ } その場合得られる関数のフーリエ変換は、 f s {\displaystyle f_{s}\,} の間隔で重ね合わせられた X ( f ) {\displaystyle X(f)\,} のコピーの総和である。 X T ( f ) = ∑ k = − ∞ ∞ X ( f − k f s ) {\displaystyle X_{\mathrm {T} }(f)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(f-{kf_{s}})} 以下で示すように、これは周期関数のDTFTである。そして、ある明白な条件下で、k=0 の項はほとんど全く他の項からの歪み（折り返し雑音）が観測されない。変調されたくし型関数は次の通りである。 x T ( t ) = T ∑ n = − ∞ ∞ x ( n T ) δ ( t − n T ) {\displaystyle x_{\mathrm {T} }(t)=T\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\,\delta (t-nT)} したがって、 X T ( f ) {\displaystyle X_{\mathrm {T} }(f)\,} = ∫ − ∞ ∞ [ T ∑ n = − ∞ ∞ x ( n T ) δ ( t − n T ) ] e − i 2 π f t d t {\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }\left[T\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\,\delta (t-nT)\right]e^{-i2\pi ft}\,dt} = ∑ n = − ∞ ∞ T ⋅ x ( n T ) ∫ − ∞ ∞ [ δ ( t − n T ) ⋅ e − i 2 π f t ] d t {\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\int _{-\infty }^{\infty }\left[\delta (t-nT)\cdot e^{-i2\pi ft}\right]\,dt} = ∑ n = − ∞ ∞ T ⋅ x ( n T ) ⋅ e − i 2 π f n T {\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\cdot e^{-i2\pi fnT}\,} このとき次が成り立つ。 x [ n ] = T ⋅ x ( n T ) {\displaystyle x[n]=T\cdot x(nT)\,} ω = 2 π f T = 2 π ( f f s ) {\displaystyle \omega =2\pi fT=2\pi \left({\frac {f}{f_{s}}}\right)\,} つまり X T ( f ) {\displaystyle X_{\mathrm {T} }(f)\,} は X ( ω ) {\displaystyle X(\omega )\,} と同じである。 ここで、 f {\displaystyle f\,} は通常の周波数（単位時間当たりの周期数）であり、 f s {\displaystyle f_{s}\,} はサンプリング周波数（単位時間当たりの標本数）であるから、 f / f s {\displaystyle f/f_{s}\,} は「標本当たりの周期数」を意味する。これを正規化周波数（normalized frequency）と呼ぶ。上で定義されている ω {\displaystyle \omega \,} も正規化周波数だが、こちらの単位は「標本当たりのラジアン」である。正規化周波数は、期間 2 π {\displaystyle 2\pi } の周期を持つ関数 X ( ω ) {\displaystyle X(\omega )} で表されるという特徴がある。そのため、逆変換では 2 π {\displaystyle 2\pi } の期間のみを評価すればよい。
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