標本化定理の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/14 18:00 UTC 版)
「クロード・シャノン」の記事における「標本化定理の証明」の解説
アナログデータをデジタルデータへと変換する時、どの程度の間隔でサンプリングすればよいかを定量的に表す標本化定理を1949年の論文"Communication in the Presence of Noise"の中で証明した。標本化定理は1928年にハリー・ナイキストによって予想されており、またシャノンの証明発表の同時期に証明をした人物が複数存在するが、シャノンのものが最も有名であり、英語圏では「ナイキスト＝シャノンの標本化定理」という名前で知られている（詳しくは標本化定理を参照）。標本化定理は、現在、コンパクトディスクを始めとしたあらゆるデジタイズ技術の基礎定理となっている。
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標本化定理の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/10 03:28 UTC 版)
標本化定理は、フーリエ級数を用いると簡単に証明することができる。 理想的な標本化パルス列s(t)は、Tをサンプリング周期とし、デルタ関数 δ ( t ) {\displaystyle \delta (t)} を用いて、 s ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T ) {\displaystyle s(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)} と表される。標本化入力信号をg(t)とすると、出力信号p(t)は p ( t ) = g ( t ) s ( t ) {\displaystyle p(t)=g(t)s(t)} であるから、 p ( t ) = g ( t ) ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T ) = ∑ n = − ∞ ∞ g ( n T ) δ ( t − n T ) {\displaystyle p(t)=g(t)\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g(nT)\delta (t-nT)} となり、明らかにg(nT)の系列となる。 ここで、出力信号p(t)の周波数成分を計算するためにs(t)をフーリエ級数展開すると、 s ( t ) = 1 T ∑ n = − ∞ ∞ e j n ω 0 t {\displaystyle s(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{jn\omega _{0}t}} となる。ただし、 ω 0 = 2 π f 0 = 2 π T {\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {2\pi }{T}}} である。 扱いを容易にするために入力信号g(t)は振幅A、周波数 f a = ω a 2 π {\displaystyle f_{a}={\frac {\omega _{a}}{2\pi }}} の単一正弦波として次のように置く。 g ( t ) = A cos ( ω a t + θ a ) = A 2 e j ( ω a t + θ a ) + A 2 e − j ( ω a t + θ a ) {\displaystyle g(t)=A\cos(\omega _{a}t+\theta _{a})={\frac {A}{2}}e^{j(\omega _{a}t+\theta _{a})}+{\frac {A}{2}}e^{-j(\omega _{a}t+\theta _{a})}} これに対する出力信号p(t)は、上の式より p ( t ) = A 2 T ∑ n = − ∞ ∞ e j { ( n ω 0 + ω a ) t + θ a } + A 2 T ∑ n = − ∞ ∞ e j { ( n ω 0 − ω a ) t − θ a } {\displaystyle p(t)={\frac {A}{2T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{j\{(n\omega _{0}+\omega _{a})t+\theta _{a}\}}+{\frac {A}{2T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{j\{(n\omega _{0}-\omega _{a})t-\theta _{a}\}}} となる。この式から周波数スペクトルの図を描き検討すると証明ができる。
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