標本化定理

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標本化定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/03 03:04 UTC 版)

標本化定理（ひょうほんかていり、英: sampling theorem）またはサンプリング定理は、連続的な信号（アナログ信号）を離散的な信号（デジタル信号）へと変換する際に元の信号に忠実であるにはどの程度の間隔で標本化（サンプリング）すればよいかを示す、情報理論の定理である。

概要

標本化定理は、元の信号をその最大周波数の2倍を超えた周波数で標本化すれば完全に元の波形に再構成されることを示す。

標本化とは、数学的には連続関数の値からある点の値だけを標本として取り出して離散関数に変換する操作であり、与えられた連続関数 g と標本化関数 δ の積を求めることと等しい。標本化関数 δ とは、ある離散値（連続でない、飛び飛びの値）x に対してのみ δ(x) = 1 となり、その他の x に対しては δ(x) = 0 となるような関数である。対象となる原関数 g(x) と標本化関数 δ(x) の積を取ると、関数 ${\displaystyle G(x)=\delta (x)g(x)}$

ナイキスト周波数と同じ周波数を持つ信号の標本化。青線の信号を標本化する（青丸）と0の信号（橙線・橙丸）と見分けがつかなくなり原信号を完全復元できない。

なお、アナログ信号からデジタル信号への変換については、標本化のほかに量子化が必要である。

標本化定理の証明

標本化定理は、フーリエ級数を用いると簡単に証明することができる。

理想的な標本化パルス列s(t)は、Tをサンプリング周期とし、デルタ関数${\displaystyle \delta (t)}$