標本モーメントによる母集団の尖度推定とは? わかりやすく解説

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標本モーメントによる母集団の尖度推定

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/04/10 22:49 UTC 版)

尖度」の記事における「標本モーメントによる母集団の尖度推定」の解説

ここでは、標本大きさ n {\displaystyle n} の標本に基づく母集団尖度推定考える。 一般には、尖度の定義の分母分子不偏推定量をもって母集団尖度推定量とする方法がもっと多く使用される具体的には、母集団キュムラント不偏推定量である k統計量 (k-statistics)を使った計算方法である。 r {\displaystyle r} 次の k統計量k r {\displaystyle k_{r}} 、平均周りの r {\displaystyle r} 次のモーメントを m r = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) r {\displaystyle m_{r}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{r}} とすると、 k 2 = n n − 1 m 2 {\displaystyle k_{2}={\frac {n}{n-1}}m_{2}} k 4 = n 2 ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) { ( n + 1 ) m 4 − 3 ( n − 1 ) m 2 2 } {\displaystyle k_{4}={\frac {n^{2}}{(n-1)(n-2)(n-3)}}\left\{(n+1)m_{4}-3(n-1){m_{2}}^{2}\right\}} なので、上の 2 式をキュムラントによる定義代入して推定量とする方法である。 最終的には β 2 {\displaystyle \beta _{2}} の推定量 b 2 {\displaystyle b_{2}} について次を得る。 b 2 = n ( n + 1 ) ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) ∑ i ( x i − x ¯ s ) 4 − 3 ( 3 n − 5 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) {\displaystyle b_{2}={\frac {n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)}}\sum _{i}\left({\frac {x_{i}-{\overline {x}}}{s}}\right)^{4}-{\frac {3(3n-5)}{(n-2)(n-3)}}} ここで、 s = n n − 1 m 2 {\displaystyle s={\sqrt {{\frac {n}{n-1}}\,m_{2}}}} (標本標準偏差) 3 を引いた定義では、次式になる。 n ( n + 1 ) ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) ∑ i ( x i − x ¯ s ) 4 − 3 ( n − 1 ) 2 ( n − 2 ) ( n − 3 ) {\displaystyle {\frac {n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)}}\sum _{i}\left({\frac {x_{i}-{\overline {x}}}{s}}\right)^{4}-3{\frac {(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}}}

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