Z変換と離散時間フーリエ変換とは? わかりやすく解説

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Z変換と離散時間フーリエ変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/04/09 06:54 UTC 版)

LTIシステム理論」の記事における「Z変換と離散時間フーリエ変換」の解説

指数関数固有関数であるという性質は、LTIシステム解析予測に役立つ。そのZ変換 H ( z ) = Z { h [ n ] } = ∑ n = − ∞ ∞ h [ n ] z − n {\displaystyle H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}} を使えばインパルス応答から固有値を得ることができる。特に興味深いのは純粋な正弦波場合e j ω n {\displaystyle e^{j\omega n}} の形式指数関数、ただし ω ∈ R {\displaystyle \omega \in \mathbb {R} } )である。これは引数純粋な虚数であっても一般に複素指数関数呼ばれる離散時間フーリエ変換 (DTFT) H ( e j ω ) = F { h [ n ] } {\displaystyle H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}} により、純粋な複素正弦波固有値求められる。 H ( z ) {\displaystyle H(z)} と H ( e j ω ) {\displaystyle H(e^{j\omega })} は共にシステム関数システム応答伝達関数などと呼ばれるZ変換一般に、t がある値より小さいとき信号ゼロとなるような信号使われる通常、その信号ゼロでなくなる時点スタート時点とする。フーリエ変換は、無限に続く信号処理するシステム解析使われる。 これらの変換畳み込み属性があるため、システム出力与え畳み込み畳み込み定理によって個別変換したあとに積を求める形に変換できる。 y [ n ] = ( h ∗ x ) [ n ] = ∑ m = − ∞ ∞ h [ n − m ] x [ m ] {\displaystyle y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]} = Z − 1 { H ( s ) X ( s ) } {\displaystyle \quad ={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(s)X(s)\}} これにより変換逆変換容易になるだけでなく、システム応答からシステム挙動についての洞察を得ることができる。システム関数絶対値 |H(z)| から、入力 z n {\displaystyle z^{n}} がシステム通過できるか、それとも減衰してしまうかを見ることができる。

※この「Z変換と離散時間フーリエ変換」の解説は、「LTIシステム理論」の解説の一部です。
「Z変換と離散時間フーリエ変換」を含む「LTIシステム理論」の記事については、「LTIシステム理論」の概要を参照ください。

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