インパルス応答
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/07/10 16:17 UTC 版)
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インパルスとは、時間的幅が無限小で高さが無限大のパルスである。実際のシステムではこのような信号は生成できないが、理想化としては有益な概念である。LTIシステム（線形時不変系）と呼ばれるシステムは、そのインパルス応答によって完全に特徴付けられる。
数学的基礎
数学的には、インパルスはディラックのデルタ関数でモデル化される。T を（離散）システムとし、入力として x[n] をとり、y[n] という出力を生成するものとする。
インパルス応答
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/09 06:54 UTC 版)
「LTIシステム理論」の記事における「インパルス応答」の解説
このシステムにディラックのデルタ関数を入力したとき、デルタ関数は理想的なインパルスであるため、LTI変換の結果がインパルス応答となる。これを式に表すと次のようになる。 ( h ∗ δ ) ( t ) = ∫ − ∞ ∞ h ( t − τ ) δ ( τ ) d τ = h ( t ) {\displaystyle (h*\delta )(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )\,\delta (\tau )\,d\tau =h(t)} これにはデルタ関数のシフト属性を利用している。なお、ここで次が成り立つ。 h ( t ) = h ( t , 0 ) ( with t = t 1 − t 2 ) {\displaystyle h(t)=h(t,0)\ ({\mbox{with }}t=t_{1}-t_{2})} 従って h ( t ) {\displaystyle h(t)} はそのシステムのインパルス応答である。 インパルス応答を使うと、任意の入力に対する応答を求めることができる。再び δ ( t ) {\displaystyle \delta (t)} のシフト属性を使い、任意の入力をデルタ関数群の重ね合わせとして表せる。 x ( t ) = ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) δ ( t − τ ) d τ {\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )\,d\tau } この入力をシステムに適用すると、次のようになる。 H x ( t ) = H ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) δ ( t − τ ) d τ {\displaystyle {\mathcal {H}}x(t)={\mathcal {H}}\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )\,d\tau } = ∫ − ∞ ∞ H x ( τ ) δ ( t − τ ) d τ {\displaystyle \quad =\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {H}}x(\tau )\delta (t-\tau )\,d\tau } （ H {\displaystyle {\mathcal {H}}} は線型であるため、積分の内側に移動できる） = ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) H δ ( t − τ ) d τ {\displaystyle \quad =\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau ){\mathcal {H}}\delta (t-\tau )\,d\tau } （ x ( τ ) {\displaystyle x(\tau )} は t に対して一定であり、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} は線型であるため） = ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) h ( t − τ ) d τ {\displaystyle \quad =\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )\,d\tau } （ h ( t ) {\displaystyle h(t)} の定義から） システムに関する全ての情報は、インパルス応答 h ( t ) {\displaystyle h(t)} に含まれている。
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