畳み込み
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/08 09:51 UTC 版)
畳み込み（たたみこみ、英: convolution）とは、関数 g を平行移動しながら関数 f に重ね足し合わせる二項演算である。あるいはコンボリューションとも呼ばれる。
注釈
- ^ 百科辞典シリーズ Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, Chez Courcier, Paris, 1797-1800. の最後の三巻
出典
- ^ Hörmander 1983, Chapter 1.
- ^ Stein & Weiss 1971, Theorem 1.3.
- ^ Beckner, William (1975), "Inequalities in Fourier analysis", Ann. of Math. (2) 102: 159–182. Independently, Brascamp, Herm J. and Lieb, Elliott H. (1976), "Best constants in Young's inequality, its converse, and its generalization to more than three functions", Advances in Math. 20: 151–173. See Brascamp–Lieb inequality
- ^ Reed & Simon 1975, IX.4.
- ^ Stein & Weiss 1971, Theorem 3.3.
- ^ Hörmander 1983, §4.2.
- ^ Rudin 1962.
- ^ "mode : {‘full’, ‘valid’, ‘same’}" NumPy. numpy.convolve. NumPy v1.24 docs. 2023-03-23閲覧.
- ^ "mode : str {‘full’, ‘valid’, ‘same’}" SciPy. scipy.signal.convolve. NumPy v1.10.1 docs. 2023-03-23閲覧.
- ^ "mode (str, optional) – Must be one of (“full”, “valid”, “same”)." TorchAudio. TORCHAUDIO.FUNCTIONAL.CONVOLVE. TorchAudio 2.0.1 docs. 2023-03-23閲覧.
- ^ Dominguez-Torres 2010, p. 2.
- ^ Dominguez-Torres 2010, p. 4.
- ^ R. N. Bracewell (2005), “Early work on imaging theory in radio astronomy”, in W. T. Sullivan, The Early Years of Radio Astronomy: Reflections Fifty Years After Jansky's Discovery, Cambridge University Press, p. 172, ISBN 978-0-521-61602-7
- ^ John Hilton Grace and Alfred Young (1903), The algebra of invariants, Cambridge University Press, p. 40
- ^ Leonard Eugene Dickson (1914), Algebraic invariants, J. Wiley, p. 85
- ^ Lothar von Wolfersdorf (2000), "Einige Klassen quadratischer Integralgleichungen", Sitzungsberichte der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse, volume 128, number 2, 6–7
畳み込み定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/28 23:15 UTC 版)
「ショーンハーゲ・ストラッセン法」の記事における「畳み込み定理」の解説
ショーンハーゲ・ストラッセン法も、他の高速フーリエ変換を用いる乗算と同じように、畳み込み定理の巡回畳み込みを効率的に計算できる性質を用いている。具体的には、 2つのベクトルの巡回畳み込みは、それぞれを一度離散フーリエ変換し、その結果の積を逆離散フーリエ変換することで得られる。 数式で表現すると（ここでのドット積はベクトルの内積（スカラー積）ではなくて、２つのベクトルを成分ごとに積を作って新しいベクトルを作る操作である） CyclicConvolution(X, Y) = IDFT(DFT(X) · DFT(Y)) 入力を変換した DFT(X) と DFT(Y) の積を計算するためにも高速フーリエ変換を用いて離散フーリエ変換と逆離散フーリエ変換を行い、乗算アルゴリズムを再帰的に呼び出すことで、巡回畳み込みを効率的に計算できる。 このアルゴリズムは、逆向きの巡回畳み込みを用いれば重みの付いた変換である DWT に対応する畳み込み定理も適用でき、より有用なアルゴリズムとなる。ベクトル X と Y の長さが n であり、 aが 位数 2n の原始根であるとする(つまり、a2n = 1 )。このとき、Aを重みベクトルとして以下のように定義する A = (aj), 0 ≤ j < n A−1 = (a−j), 0 ≤ j< n よって、 NegacyclicConvolution(X, Y) = A−1 · IDFT(DFT(A · X) · DFT(A · Y)) といえる。離散フーリエ変換前にAが掛けられ、逆離散フーリエ変換後にA−1が掛けられることを除けばほぼ同じ形である。
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畳み込み定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 04:25 UTC 版)
詳細は「畳み込み定理」を参照 フーリエ変換は、関数の畳み込みと関数の（点毎の）積とを相互に変換する。ƒ(x) および g(x) が可積分関数であるとし、そのフーリエ変換をそれぞれ ^f(ξ) および ^g(ξ) で表す。さらに ƒ と g との畳み込みが存在して絶対可積分であるならば、この畳み込みのフーリエ変換はフーリエ変換 ^f(ξ) と ^g(ξ) との積で与えられる（ただし、フーリエ変換の定義の仕方によっては定数因子が現れる場合もある）。 これを式で表せば、∗ を畳み込みとして h ( x ) := ( f ∗ g ) ( x ) := ∫ − ∞ ∞ f ( y ) g ( x − y ) d y {\displaystyle h(x):=(f*g)(x):=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy} と表されるとき、 h ^ ( ξ ) = f ^ ( ξ ) ⋅ g ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\cdot {\hat {g}}(\xi )} が成立することを意味する。線型時不変 (LTI) 系理論において、f(x) を単位インパルスで置き換えたものが h(x) = g(x) を与えることから、通例 g(x) は、入力 ƒ(x) と出力 h(x) に関する LTI 系のインパルス応答として解釈される。この場合、^g(ξ) はこの系の周波数応答を表す。 逆に、ƒ(x) がふたつの自乗可積分函数 p(x) および q(x) の積に分解されるならば、 ƒ(x) のフーリエ変換は、各因子のフーリエ変換 ^p(ξ) および ^q(ξ) の畳み込みで与えられる。
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