畳み込み代数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/04/07 15:39 UTC 版)
「ミクシンスキーの演算子法」の記事における「畳み込み代数」の解説
実数直線内の半開区間 [0,∞) 上で定義された複素数値連続函数全体の成すベクトル空間 C = C ( [ 0 , ∞ ) ; C ) ; {\displaystyle {\mathcal {C}}=C([0,\infty );\mathbb {C} );} f + g := { f ( x ) + g ( x ) } , α f := { α f ( x ) } , ( f , g ∈ C , α ∈ C ) {\displaystyle {\begin{aligned}f+g&:=\{f(x)+g(x)\},\\\alpha f&:=\left\{\alpha f(x)\right\},\end{aligned}}\quad (f,g\in {\mathcal {C}},\alpha \in \mathbb {C} )} f g := { f ( x ) ∗ g ( x ) } = { ∫ 0 x f ( x − ξ ) g ( ξ ) d ξ } {\displaystyle fg:=\{f(x)*g(x)\}=\left\{\int _{0}^{x}f(x-\xi )g(\xi )d\xi \right\}} f = f δ = { ∫ 0 x f ( x − ξ ) δ ( ξ ) d ξ } {\displaystyle f=f\delta =\left\{\int _{0}^{x}f(x-\xi )\delta (\xi )d\xi \right\}} を満たすはずだが、右辺は x = 0 のとき 0 となるから、f(0) ≠ 0 なる f についてはこれは成立しない。 この代数の元は連続函数だが、積が畳み込みで定義されていることにより、積分作用素を含むと考えることができる。実際、定数函数 l = {1} は l f = { ∫ 0 x f ( ξ ) d ξ } {\displaystyle lf=\left\{\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi \right\}} C ↷ C : C × C → C ; ( φ , f ) ↦ φ f {\displaystyle {\mathcal {C}}\curvearrowright {\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}};\;(\varphi ,f)\mapsto \varphi f} と考えるときの、作用素 φ として l は積分演算子である。このときさらに、積分演算子 l の逆元として微分演算子を考えたいとしても、畳み込みに関する単位元が存在しないため、このままではうまくいかない。
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