演算子の体とは? わかりやすく解説

演算子の体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/04/07 15:39 UTC 版)

ミクシンスキーの演算子法」の記事における「演算子の体」の解説

重要なことは、先ほどの非単位的かつ結合的な可換代数畳み込みに関する零因子持たないこと(ティッチマーシュの定理)である。これにより、代数学において一般に商体呼ばれる構成を行うことができる。 L = F r a c ( C ) = { f g = f / g ∣ f , g ∈ C } . {\displaystyle {\mathcal {L}}=\mathrm {Frac} ({\mathcal {C}})=\left\{{\frac {f}{g}}=f/g\mid f,g\in {\mathcal {C}}\right\}.} 右辺記号的分数として f/g のように書いたものは、ここでの商体の構成従った畳み込み "∗" に関する商」となるべきものであって、他によくあるような、例えば値の商としてのもの(つまり、(f/g)(x) := f(x)/g(x)定めるもの)とは異なということ注意すべきであるこのようにして得られた体には、もともとの代数属していた連続函数とともにそれ以外の、函数すらないもの(しかし、台が下に有界シュワルツ超函数としては解釈できるがたくさ含まれることから、ミクシンスキーはこの体の元を operator総称した(ミクシンスキー演算子)。特に、この演算子の体の元としての単位元 δ := l/l や(微分演算子あるべき、そして実際に微分演算子と呼ぶにふさわしい)積分演算子逆元 s = δ/l の存在が、このような代数的方法によって論理的に保証される。 C ∋ α → [ α ] := s { α } = { α } / l ∈ L {\displaystyle \mathbb {C} \ni \alpha \to [\alpha ]:=s\{\alpha \}=\{\alpha \}/l\in {\mathcal {L}}} C ⊂ C ⊂ L . {\displaystyle \mathbb {C} \subset {\mathcal {C}}\subset {\mathcal {L}}.} また、台が下に有界局所可積分函数空間 L1loc(−∞,∞) を基にしても、その商体として同じ体 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} が得られる代数 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} の元を負の部分では 0 となるものとして延長すれば、各函数は L1loc(−∞,∞) に入る。 商体がもとの代数を含む(最小の)体となることで、演算子の体による畳み込み代数への作用を、商体における積を考えることによって定められるかを問題にすることができる。 L ↷ C : L × C → C ( ⊂ L ) ; ( φ , f ) ↦ φ f . {\displaystyle {\mathcal {L}}\curvearrowright {\mathcal {C}}\colon {\mathcal {L}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}(\subset {\mathcal {L}});\;(\varphi ,f)\mapsto \varphi f.} 特に、φ = lisj(i, j は自然数)に対す結果確定するならば、微分積分学展開するのにはさし当たって十分である。このような意味で、単位元 δ はディラックのデルタ函数実現したものと理解される

※この「演算子の体」の解説は、「ミクシンスキーの演算子法」の解説の一部です。
「演算子の体」を含む「ミクシンスキーの演算子法」の記事については、「ミクシンスキーの演算子法」の概要を参照ください。

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