畳み込みで解が求まることとは? わかりやすく解説

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畳み込みで解が求まること

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/10/16 09:32 UTC 版)

基本解」の記事における「畳み込みで解が求まること」の解説

二つ函数 F と g との畳み込みを F ∗ g と書くことにして、Lf = g(x) の解を求めんとするとき、基本解 F に対して F ∗ g がその方程式の解であること、すなわち L(F ∗ g) = g(x) であることを見よう微分作用素 L を上記畳み込み F ∗ g に施すとき、L が定数係数作用素であるとすれば L(F ∗ g)=(LF) ∗ g が成立することが知られている。F が基本解ならばこの右辺は δ ∗ g ということになるが、デルタ関数畳み込みに関する単位元だから、これは単に g(x) である。まとめると、 L ( F ∗ g ) = ( L F ) ∗ g = δ ( x ) ∗ g ( x ) = ∫ − ∞ ∞ δ ( x − y ) g ( y ) d y = g ( x ) . {\displaystyle L(F*g)=(LF)*g=\delta (x)*g(x)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)g(y)dy=g(x).} したがって、F が基本解であるならば、畳み込み F ∗ g は Lf = g(x) の一つの解を与える。これはこの解が唯一つの解であることは意味しない異な初期条件に対していくつかの解が見つかることもある。

※この「畳み込みで解が求まること」の解説は、「基本解」の解説の一部です。
「畳み込みで解が求まること」を含む「基本解」の記事については、「基本解」の概要を参照ください。

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