畳み込み恒等式による特徴付け
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/02/20 06:07 UTC 版)
「二項型多項式列」の記事における「畳み込み恒等式による特徴付け」の解説
ふたつの数列 an, bn (n = 0, 1, 2, …) に対し、一種の畳み込み積を ( a ⋄ b ) n = ∑ j = 0 n ( n j ) a j b n − j {\displaystyle (a\diamond b)_{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}a_{j}b_{n-j}} で定義する。 a n k ⋄ {\displaystyle a_{n}^{k\diamond }} は畳み込み k-乗 a k ⋄ := a ⋄ ⋯ ⋄ a ⏟ k factors {\displaystyle a^{k\diamond }:=\underbrace {a\diamond \dotsb \diamond a} _{k{\text{ factors}}}} の第 n-項を表すものとすると、a0 = 0 なる任意の数列 ai (i = 0, 1, 2, …) に対し、p0(x) = 1 および p n ( x ) = ∑ k = 1 n a n k ⋄ x k k ! ( n ≥ 1 ) {\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}{a_{n}^{k\diamond }x^{k} \over k!}\quad (n\geq 1)} で定義される多項式列は二項型であり、また任意の二項型多項式列はこの形で得られる(di Bucchianico 1997)。
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