K-代数とK-余代数の双対空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/24 02:14 UTC 版)
「余代数」の記事における「K-代数とK-余代数の双対空間」の解説
C {\displaystyle C} を K {\displaystyle K} -余代数、 A {\displaystyle A} を K {\displaystyle K} -代数、とする。ここで f , g ∈ H o m K ( C , A ) {\displaystyle f,g\in \mathrm {Hom} _{K}(C,A)} の積を f ∗ g := m ∘ f ⊗ g ∘ Δ {\displaystyle f\ast g:=m\circ f\otimes g\circ \Delta } 、即ち任意の c ∈ C {\displaystyle c\in C} に対して ( f ∗ g ) ( c ) = ∑ f ( c ( 1 ) ) g ( c ( 2 ) ) {\displaystyle (f\ast g)(c)=\sum f\left(c_{(1)}\right)g\left(c_{(2)}\right)} で定める。 Δ {\displaystyle \Delta } が余結合的であることから積 ∗ {\displaystyle \ast } は結合的であることがわかる。この積によって H o m K ( A , C ) =: C ∗ {\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}(A,C)=:C^{\ast }} は K {\displaystyle K} -代数となり、 C {\displaystyle C} の双対代数あるいは畳み込み代数という。単位は ε ∘ u : C → K → A , c ↦ ε ( c ) 1 A {\displaystyle \varepsilon \circ u:C\to K\to A,\quad c\mapsto \varepsilon (c)1_{A}} で与えられる。また C {\displaystyle C} が余可換であることと、全ての可換な A {\displaystyle A} に対して H o m K ( A , C ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}(A,C)} が可換であることは同値である。 逆に代数が有限次元の場合、代数の双対として余代数が定義できる。 A {\displaystyle A} を有限 K {\displaystyle K} -次元代数とすると、準同型写像 A ∗ ⊗ A ∗ → ( A ⊗ A ) ∗ , f ⊗ g ↦ [ a ⊗ b ↦ f ( a ) g ( b ) ] {\displaystyle A^{\ast }\otimes A^{\ast }\to (A\otimes A)^{\ast },\quad f\otimes g\mapsto [a\otimes b\mapsto f(a)g(b)]} が存在して A ∗ ⊗ A ∗ ≃ ( A ⊗ A ) ∗ {\displaystyle A^{\ast }\otimes A^{\ast }\simeq (A\otimes A)^{\ast }} となる。積と単位の双対 m ∗ : a → ( A ⊗ A ) ∗ ≃ A ∗ ⊗ A ∗ , u ∗ : A → K , f ↦ f ( 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}m^{\ast }&:a\to (A\otimes A)^{\ast }\simeq A^{\ast }\otimes A^{\ast },\\u^{\ast }&:A\to K,\quad f\mapsto f(1)\end{aligned}}} によって余積と余単位がそれぞれ定義され、余代数の構造が得られる。一般に A {\displaystyle A} が無限次元の場合には、このようにして余代数の構造を持つことはない。
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