フーリエ変換とラプラス変換とは? わかりやすく解説

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フーリエ変換とラプラス変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/04/09 06:54 UTC 版)

LTIシステム理論」の記事における「フーリエ変換とラプラス変換」の解説

指数関数固有関数であるという性質は、LTIシステム解析予測に役立つ。そのラプラス変換 H ( s ) = L { h ( t ) } = ∫ − ∞ ∞ h ( t ) e − s t d t {\displaystyle H(s)={\mathcal {L}}\{h(t)\}=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}dt} を使えばインパルス応答から固有値を得ることができる。特に興味深いのは純粋な正弦波場合exp ⁡ ( j ω t ) {\displaystyle \exp({j\omega t})} の形式指数関数、ただし ω ∈ R {\displaystyle \omega \in \mathbb {R} } であり、かつ j = − 1 {\displaystyle j={\sqrt {-1}}} )である。これは引数純粋な虚数であっても一般に複素指数関数呼ばれるフーリエ変換 H ( j ω ) = F { h ( t ) } {\displaystyle H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}} により、純粋な複素正弦波固有値求められる。 H ( s ) {\displaystyle H(s)} と H ( j ω ) {\displaystyle H(j\omega )} は共にシステム関数システム応答伝達関数などと呼ばれるラプラス変換一般に、t がある値より小さいとき信号ゼロとなるような信号使われる通常、その信号ゼロでなくなる時点スタート時点とし、ゼロから無限大までの積分とする(一方負の無限大から積分するラプラス変換一般に両側ラプラス変換; bilateral Laplace transform」と呼ぶ)。 フーリエ変換は、無限に続く信号処理するシステム解析使われる例えば、変調された正弦波などだが、二乗可積分でない入力信号出力信号には直接適用できないスタート時以前信号ゼロなら、ラプラス変換二乗可積分でなくとも適用可能である、フーリエ変換は、その信号フーリエ変換存在しない場合でも、ウィーナー・ヒンチンの定理使って無限信号スペクトル適用される。 これらの変換畳み込み属性があるため、システム出力与え畳み込み畳み込み定理によって個別変換したあとに積を求める形に変換できる。 y ( t ) = ( h ∗ x ) ( t ) = ∫ − ∞ ∞ h ( t − τ ) x ( τ ) d τ {\displaystyle y(t)=(h*x)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )d\tau } = L − 1 { H ( s ) X ( s ) } {\displaystyle \quad ={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}} これにより変換逆変換容易になるだけでなく、システム応答からシステム挙動についての洞察を得ることができる。システム関数絶対値 |H(s)| から、入力 exp ⁡ ( s t ) {\displaystyle \exp({st})} がシステム通過できるか、それとも減衰してしまうかを見ることができる。

※この「フーリエ変換とラプラス変換」の解説は、「LTIシステム理論」の解説の一部です。
「フーリエ変換とラプラス変換」を含む「LTIシステム理論」の記事については、「LTIシステム理論」の概要を参照ください。

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